椿 专题研究 稚黪 蝤 秘 ……ｅ … Ｊ １０９ ｝ ●．－ｌ，＃ ● 携 Ｅｏ ｅ 套 ◎王雪健拟线性集 号 ８３００００） 因此ｐ≤ 界 慎 徐 刚 （大学【摘要】本文讨论了Ｏｒｌｉｅｚ函数的基本性质，并应用这 些基本性质证明了弱Ｏｒｌｉｃｚ—Ｌｏｒｅｎｔｚ空间的一个插值定理． ，则ｉｎｆ｛ｐ 。， 妒（ ）在（。，。。）上是 【关键词】凸函数；弱Ｏｒｌｉｃｚ Ｌｏｒｅｎｔｚ空间；拟线性算子 【基金】大学大学生创新项目（ＸＪＵ．ＳＲＴ一１４０４８） 凸函数是分析学中的一类非常重要的函数，它的概念 单调递增函数｝≤ｏ ． 同理可证ｂ ≤ｉｎｆ｛ｑ＞０，ｔ－ｑ （ｔ）在（０，ｏ。）上是单调 递减的｝成立． （３）若 ∈△ ，应用 （０）＝０，知 最早由Ｊｅｎｓｅｎ给出的．这一重要概念在许多数学分支中得 到了广泛应用．现在已成为凸分析、数理经济学、最优控制、 （ ） Ｊ （ ） ≥Ｊ （ ） 函数论等学科的理论基础和有力工具．在这篇文章中我们 将要讨论的Ｏｒｌｉｅｚ函数就是一类非常重要的凸函数．首先我 们先来回顾一下凸函数的定义． 定义１（［１］） 设＿厂（ ）为定义在区间，上的函数．若对 ，上任意两点 ，Ｙ和实数０＜ｓ＜１，总有ｆ（ＳＸ＋（１一ｓ）Ｙ）≤ 再应用妒 的单调性可知÷妒 （÷）≤ （ ）≤ （ ）进 而可得 圭 ≤兰 ｃ （÷） ２时，有 ）＋（１一ｓ），（Ｙ），则称＿厂为区间，上的凸函数． 现在我们来讨论Ｏｒｌｉｃｚ函数的基本性质．令 ：［０，ｏ。） ＂ 因此，６。＜。。．反过来，若ｂ。＜∞，则存在常数０＜ｂ‘ ∞，使得当ｔ足够大时有 （ｔｕ）≤ｔｂ妒（Ｍ）， ＞０．因此，当ｔ≥ ［０，。。）为Ｏｒｌｉｃｚ函数，即 为连续递增的凸函数且满足 （０）＝０， （ｔ）＞０，ｔ＞０，ｌｉｍ（ｔ）＝。。．由凸函数的性质可 知， 在除去一个可数集后 （ｔ）存在，在这可数个不可导 的点处，我们取其右导数．这样就保证了 （ｔ）在任意点都 （２ｕ）≤ （ｔｕ）≤ｔｂ （ ），Ｍ＞０． 故 ∈Ａ２． ２．弱Ｏｒｌｉｅｚ．Ｌｏｒｅｎｔｚ空间上拟线性算子的有界性 我们称函数 ：［０，。。）一［０， ）是权函数，如果∞是 存在，容易验证 （ｔ）是单调增函数且 ≥０．设 为Ｏｒｌｉｃｚ 函数，令 ａ＝ ｉｎｆ ， ＝Ｓ Ｕ 局部可积的且Ｉ ｄ￡＝ｏ。．令（ｎ， ，ｍ）为一个完备的可测 Ｊ ０ 我们称 ∈△２，若 （２ｔ）≤ｃ （ｔ），ｔ＞０对某个常数 Ｃ＞１成立．设Ａ，Ｂ是两个常量，我们记Ａ≤Ｂ，若存在某个 常数ｃ满足Ａ≤ＣＢ． 空间，记此可测空间上所有可测函数组成的集合为 ．对任 意的＿厂∈Ｌ ，我们定义 Ａ （＿厂）＝ｍ（｛ｓ：Ｉ，（ｓ）ｌ＞ｔ｝）和 （ Ａ （＿厂）≤ｔ｝． 设 是Ｏｒｌｉｃｚ函数，∞为权函数，我们定义弱 ＝ ｛ｓ＞０： １．Ｏｒｌｉｃｚ函数的性质 下面列出的Ｏｒｌｉｅｚ函数的性质可以在文献［２，３］中找 到，但有的没有详细的证明过程，为了方便在这里我们写出 了详细的证明． 性质：（１）１≤ａ ≤ｂ ≤ ． Ｏｒｌｉｃｚ—Ｌｏｒｅｎｔｚ空间为 ；， ＝｛ｆ∈ｆＪ。：Ｉｌ，ｌｌ；， ＜ｍ｝，其中 ＩＩｆＩＩ；， ：ｉ ｆ｛ ＞０： （ ） （丝 ）≤１｝．容易知道，当 和Ｗ（ ）＝Ｉ （ｓ）ｄｓ都满足△２条件时，弱Ｏｒｌｉｅｚ—Ｌｏｒｅｎｔｚ空 间为拟Ｂａｎａｃｈ空间．有关此空间的基础知识参见文献［４］． 用简单函数逼近的方法容易验证： （２）对于指标ａ ，ｂ 有ａ ≥ｓｕｐ｛Ｐ＞０，ｔ－Ｐ （ｔ）在（０， ）上是单调递增的｝和ｂ ≤ｉｎｆ｛ｑ＞０，ｔ－ｑ （ｔ）在（０， ） 上是单调递减的｝成立． （３） ∈△２骨６ ＜ｏ。． 证明：（１）设＿厂（ｔ）＝ （ｔ）／ｔ，即：Ｊ（，（ｔ）／ｔ）ｄｔ： ［Ｉ， ， ＿ｉｎｆ｛ｃ 南（ ＿【） 和 ｓ ｕｐ ｊ（１“ （ｔ）／ｔ） ｄｔ＝Ｉｎ（ （ｔｕ）／（Ｄ（“）），（ｔ＞０）， 妒（ ｕ） （ｕ）＝ｅ Ｊ （ｆ（ｔ）／ｔ）ｄｔ，再由ｎｂ 的定义及表达 （ ） ５＇哪 ㈦） （÷） （ ） （÷）· （１） （，）对应于权 所导出测度 式 （ ）＝Ｉ （￡）ｄｔ， （ ）的单调递增性得到上式成立． （２）如果ｔ （ｔ）是单调递增的，则有 ［ｔ－ｐ （ｔ）］ ＝一ｐｔ呻－。 （ｔ）＋ｔ－ｐ （ｔ）≥０． 挚学习与研究２０１５．５ 其中Ａ （ （ｓ）是函数ｔ 专 题 研 究 黪 ●～矿● ｔ 定义２ 我们称映射Ｔ：Ｌ。一 。为拟线性算子，若 （ｉ）ｌ （ 厂）Ｉ≤ｌ ＯｔＩ ｌ Ｔ（ｆ）Ｉ，厂＿∈Ｌ。，Ｏｌ∈￡ （ｉｉ）存在常数Ｋ＞０使得对任意的ｆ，ｇ∈Ｌ。满足Ｉ （＿厂＋ ｇ）Ｉ≤Ｋ（Ｉ ｌ＋ｌ Ｉ）． 证明 ）≤ Ｓ Ｈ ） ）· 由Ｗ ∈Ａ ，ｉ＝０，１及分布函数的性质可得 Ｗ。（Ａ （Ｔｆ）） ≤Ｗ。（Ａ ２ （Ｋ（１ ≤ｗｏ（Ａ （（Ｊ Ｉ＋Ｉ １）） 特别地，当Ｋ＝１时称 为次线性算子． 定理１ 设 是Ｏｒｌｉｅｚ函数，∞ 是权函数且 ，Ｗ （ｔ）＝ （ｓ）ｄｓ∈△２，ｉ＝０，１．另外我们取 ，ｒ 满足０＜ｒ。＜。 ≤ ｂ ＜ｒｌ≤∞．对任意的＿厂∈Ｌ 和Ｏｔ＞０，令 ＝ｆｘ Ｌｆ（ｔ） ｝， Ｊ＋Ｊ Ｊ）） ≤ｗｏ（Ａ （Ｉ １＋Ａ （１ Ｉ） Ｗｏ（Ａ （Ｉ Ｉ）＋ Ｗｏ（Ａ （１ Ｉ）． ，一 ．若拟线性算子Ｔ：Ｌ。一，Ｊ。满足 ｓｕｐｔ 。Ｗ．（Ａ （ ））≤Ａ ｓ，：Ｔｔ Ｗ （Ａ （ ）），ｉ＝０，１， 这里我们选取的Ｋ是定义２中的Ｋ．由此可得 则对任意的／ ￡：， 有 （Ｔｆ） 妒（ ） 。（Ａ （，） ｓ ｕｐ ￡ ）Ｗ１（Ａ （＿，））＋ ｓ？ｐＷ。（ｔ） （ｔｘ （ ）ｓ ｐ 。（ｔ） （ （，）），Ｖ＿厂∈，Ｊ：． ，． 证明：对任意的ｆ∈ 和Ｏｔ＞０，令 ＝ｆｘ ｉｆ￣ｔ） ， ｓ ｕ ｐ９（ ） （Ａ［（ ）．＿ ＿厂一 ．由条件可知 Ｗ，（Ａ （ ））≤Ａ ｔ ｓｗｔ 。Ｗ （Ａ （ ）），ｉ＝０，１． （２） 再联合等式（１）就得到了我们需要的结果． 从而应用ｔ 。 （ｔ）的递增性和不等式（２）可得 Ｗ。（Ａ （ ））≤ｄ 。Ａ；ｏ ｓ ｐｆ Ｗ．（Ａ （ ）） 【参考文献】 ［１］欧阳光中，朱学炎，金福临，等．数学分析（上册） ［Ｍ］．第三版．北京：高等教育出版社，２００７． ≤／ｔｏｏ ｓｕｐ（｜ｌ＿） ｌ（Ａ （＿厂）） ［２］Ｍａｌｉｇｒａｎｄａ Ｌ，Ｏｒｌｉｅｚ ｓｐａｃｅｓ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ［Ｍ］． Ｂｒａｓｉｌ：Ｕｎｉｖｅｒ—ｓｉｄａｄｅ Ｅｓｔａｄｕａｌ ｄｅ Ｃａｍｐｉｎａｓ，１ ９８９． ≤Ａ ｓｕｐ …Ｗ。（Ａ （１，）） ＼ｕ， ［３］Ｂｅｋｊａｎ Ｔ Ｎ，Ｃｈｅｎ Ｚ，Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｎｄ中一ｍｏｍｅｎｔ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｎｏｎｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｍａｒｔｉｎ—ｇａｌｅｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｂ Ｔｈｅｏ Ｒｅｌａ Ｆｉｅｌｄｓ，１５２：１７９—２０６，２０ｌ２． ≤ ＡｔＯ ＳＵＰｔＰ（ｔ）Ｗ。（Ａ （／）） ，ｔ ［４］ＩＪｉ Ｈ，Ｈａｒｄｙ—ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｎ ｓｔｒｏｎｇ ａｎｄ ｗｅａｋ “Ｐ （ｔ）Ｗ （Ａ （／））． ≤— （上，ｔ Ｏｒｌｉｃｚ·Ｌｏｒｅｎｔｚ ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ｓｃｉ Ｃｈｉｎａ Ｍａｔｈ，５５：２４９３— ２５０５，２０１２． 另外应用ｔ ’妒（ｔ）的递减性和不等式（２），类似可以 （上接１０８页） 生理解当水量在某一个范围值时，应该使用哪一个表达式， 如问题２：一个用户一个月用了２０ ｍ 水，则应交水费为多 少？那就可以利用分段函数求解，当 ＝２０时，Ｙ＝１．６×１０ ＋２．８（２Ｏ一１０）＝４４（元）． 与拓展．３．加强阅读理解能力和分析建模能力的培养．４．加 强解应用题方向和目标意识的培养．要真正培养学生的创 新和应用能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教 学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实 际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主 观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活 ４．验证：纯数学下的结果并不一定符合客观现实，如现 实中往往要取整、取最值等等，这是纯数学与应用数学最不 致的地方，也是数学“生活化”的直接体现．如在首项为 动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能 使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这 样才能真正提高学生的创新能力和应用能力，使学生真正 ｌ６，公差为１２的等差数列｛ａ ｝中，当ｎ是多少时，前ｎ项 和ｓ，．最少？最小值是多少？根据等差数列的通项公式，我 ‘Ｑ 们可以算出当ｎ≤ 时，前ｎ项和最小，但这不符合实际，因 ｌ 学到有用的数学．我们相信，在开展“目标教学”的同时，大 力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条 为项数不可能是小数，所以答案应该是当ｎ＝５时，前５项 和最小，最小为一１６０． 新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全 新的舞台． ５．回答：高中数学应用题一般不同于小学的应用题有 明确的最后一个问句，因而高中数学应用题的回答要学生 根据题意用简练、明确的语言概括出来，给出一个清楚的结 论．如关于上述水费的问题２就可以这样回答：当用水量是 ２０ ｍ ，其应交的水费是４４元． 要切实让学生掌握如何解决应用题，我想要做好以下 【参考文献】 ［１］黄立俊，方水清．增强应用意识，增强建模能力．中 学数学杂志，１９９８（５）． ［２］薛治刚．高中数学应用问题．吉林科学技术出版社， 北京朗曼教学与研究中心，１９９８． 几点：１．排除学生解应用问题的心理障碍．２．做好知识归纳 数学学习与研究２０１５．５
