高三数学大一轮复习讲义 2.6对数与对数函数 理 新人教A版

2014高考会这样考 1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数．

复习备考要这样做 1.注意函数定义域的以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系．

1． 对数的概念

如果a＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__ 叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2． 对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM (n∈R)；④logamM＝logaM. (2)对数的性质

①alogaN＝__N__；②logaa＝__N__(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式

logaN①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；

logab1

②logab＝，推广logab·logbc·lo＝logad.

logba3． 对数函数的图象与性质

NnnxMNnm a>1 01时，y>0 当0当a>1且b>1或00； 当a>1且01时，logab<0. 2． 对数函数的定义域及单调性

对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论． 3． 关于对数值的大小比较

(1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)； (4)化同真数后利用图象比较．

x(5)当x>1时，y<0 当00 (7)在(0，＋∞)上是减函数

1． (2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是__________．

1答案 －，＋∞

2

1解析 函数f(x)的定义域为－，＋∞，

2

令t＝2x＋1 (t>0)．

1因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在－，＋∞上为增函数，所

2

以函

1数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为－，＋∞.

2

2． 函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0且a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0

12

上(其中mn>0)，则＋的最小值为________．

mn答案 8

解析 y＝loga(x＋3)－1 (a>0且a≠1)的图象恒过点A(－2，－1)，A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上， 即2m＋n＝1.

1212n4m∴＋＝＋(2m＋n)＝4＋＋≥4＋24＝8，

mnmn

2

mn当且仅当4m＝n时取等号． 3

．

(2012·

安

徽

)(log29)·(log34)

等

2

于

( )

11

A. B. C．2 D．4 42答案 D

lg 9lg 42lg 3·2lg 2解析 方法一 原式＝·＝＝4.

lg 2lg 3lg 2·lg 3log24

方法二 原式＝2log23·＝2×2＝4.

log23

4． (2012·重庆)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关

系是 ( ) A．a＝bc C．ab>c 答案 B

解析 ∵a＝log23＋log23＝log233，b＝log29－log23＝log233， ∴a＝b.

又∵函数y＝logax(a>1)为增函数，

∴a＝log233>log22＝1，c＝log32c.

5． (2011·安徽)若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是 ( )

1A.，b B．(10a,1－b) a

C.

10，b＋1 D．(a2,2b)



a

答案 D

解析 由点(a，b)在y＝lg x图象上，知b＝lg a.

111对于A，点，b，当x＝时，y＝lg ＝－lg a＝－b≠b，∴不在图象上．

a

aa对于B，点(10a,1－b)，当x＝10a时，y＝lg(10a)＝lg 10＋lg a＝1＋b≠1－b，∴不在图

象上． 对于C，点

10，b＋1，当x＝10时，y＝lg 10＝1－lg

a＝1－b≠b＋1，∴不在图象上． aaa

2,

2

2

对于D，点(a2b)，当x＝a时，y＝lg a＝2lg a＝2b， ∴该点在此图象上.

题型一 对数式的运算 例1 计算下列各式：

(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)；

22

(2)－lg 9＋127＋lg 8－lg1 000

lg 0.3·lg 1.2

；

(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．

思维启迪：(1)lg 2·lg 50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg 2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口． 解 (1)原式＝(lg 2)＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 5 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.

22

2

(2)原式＝

－＝

－

32

33

－2lg 3＋1·lg 3＋3lg 2－22

－＋2lg 2－

＋2lg 2－＋2lg 2－

3

＝－. 2

(3)原式＝＝＝

lg 2＋lg 2·lg 3＋lg 3



lg 3lg 9lg 4lg 8

lg 2＋lg 2·lg 3＋lg 3

lg 32lg 32lg 23lg 2

3lg 25lg 35

·＝. 2lg 36lg 24

探究提高 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同

底或指数与对数互化．

(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．

log2

求值：(1)；(2)(lg 5)＋lg 50·lg 2；

log23

1324

(3)lg －lg8＋lg245. 2493log2332

解 (1)原式＝＝.

log233

102

(2)原式＝(lg 5)＋lg(10×5)lg 5＝(lg 5)＋(1＋lg 5)(1－lg 5) ＝(lg 5)＋1－(lg 5)＝1. 42

(3)原式＝lg －lg 4＋lg(75)

742×751＝lg ＝lg10＝.

7×42题型二 对数函数的图象与性质

例2 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝

2

2

2

2

f(log47)，

b＝f(log

( )

A．c思维启迪：比较大小可充分利用函数的单调性或找中间值；利用函数图象可以直观地得 到各自变量的大小关系． 答案 B

11

解析 log3＝－log23＝－log49，b＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)，

22log47－0.6

1

3)，c＝f(0.22

－0.6

)，则a，b，c的大小关系是

5135

＝－＝125>32＝2>log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上55

的偶函数，且在(－∞，

0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2即c－0.6

1

)2

探究提高 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；

(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．

1－0.81.2

(1)(2012·天津)已知a＝2，b＝，c＝2log52，则a，b，c的大小

2

关系

为 ( ) A．c1－0.80.81.2

解析 b＝＝2<2＝a，

2

c＝2log52＝log522故c(2)已知函数f(x)＝loga(x＋b) (a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，

b＝________.

答案 2 2

解析 f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．

则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，

b－1＝1∴

b＝a

b＝2

，即

a＝2

.

题型三 对数函数的综合应用 例3 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

思维启迪：f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离实数a来解决；探究a是否存在， 可从单调性入手．

解 (1)∵a>0且a≠1，设y＝3－ax，则y＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t最小值为3

－2a，当x∈[0,2]，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立． 3

∴3－2a>0.∴a< 2

3又a>0且a≠1，∴a>∈(0,1)∪1，. 2

(2)t＝3－ax，

∵a>0，∴函数t(x)为减函数， ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数， ∴y＝logat为增函数，

∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，

3－2a>0∴

loga－a

＝1

3

a<2，即3

a＝2

，故不存在．

探究提高 解决对数函数综合问题的方法 无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质

(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；

(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；

(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．

已知f(x)＝log4(4－1)．

(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性；

x1(3)求f(x)在区间，2上的值域．

2

解 (1)由4－1>0，得x>0. ∴f(x)的定义域为{x|x>0}． (2)设0∴log4(4x1－1)xxf＝log44－1＝0， 22f(2)＝log4(42－1)＝log415.

11



1∴f(x)在，2上的值域为[0，log415]． 2

4.数形结合思想在对数函数中的应用

典例：(12分)已知函数f(x)＝loga(a－1) (a>0且a≠1)．

求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧； (2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.

审题视角 (1)要证明f(x)的图象总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，

0)内取值．(2)可以在f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明k＝规范解答

证明 (1)由a－1>0，得a>1，[1分]

∴当a>1时，x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 此时函数f(x)的图象总在y轴的右侧；[3分]

当0(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)图象上的任意两点，且x1xxxy2－y1

>0即可． x2－x1

k ＝

y1－y2

.[7分] x1－x2

ax1－1

y1－y2＝loga(ax1－1)－loga(ax2－1)＝loga，[8分]

ax2－1

当a>1时，由(1)知0ax1－1

<1，∴y1－y2<0. ax2－1

又x1－x2<0，∴k>0.[9分]

当0ax2>1， ∴ax1－1>ax2－1>0.[10分] ∴

ax1－1

>1，∴y1－y2<0.又x1－x2<0，∴k>0. ax2－1

∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.[12分]

温馨提醒 说到数形结合思想，我们想到是更多的以“形”助“数”来解决问题．事实上，

本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想．本题的易错点：① 找不到证明问题的切入口．如第(1)问，不知道求其定义域．②不能正确进行分类讨论．若 对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论.

方法与技巧

1． 指数式a＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键． 2． 多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y＝1交点的横坐标进行判

定．

3． 注意对数恒等式、对数换底公式及等式logamb＝·logab，logab＝

活应用． 失误与防范

1． 在运算性质logaM＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaM＝

nnnbnm1

在解题中的灵logbanloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．

2． 指数函数y＝a (a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从

概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别． 3． 解决与对数函数有关的问题时需注意两点

(1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围.

x

(时间：60分钟)

A组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1

1． 已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则 ( )

2

A．x解析 ∵x＝ln π>ln e，∴x>1. 1

∵y＝log52∵z＝e－＝>＝，∴22e42综上可得，ylog2x，x>0，

2． 设函数f(x)＝1

log－x，x<0，2( )

若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C

a>0

解析 f(a)>f(－a)⇒1

log2a>loga2a<0

1

log－a2

或

2

－a

⇒

a>0a>1

或

a<0

－1⇒a>1或－13． 函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是 ( )

A．(1，＋∞) B．(0,1)

1C.0， D．(3，＋∞) 3

答案 D

解析 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数， ∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数， 因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正， ∴a－3>0，即a>3，故选D.

4． 设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有

( )

11A．f()C．f()2311D．f(2)2－x＋x解析 由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，

2

f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，

1111

∵|2－1|>|－1|>|－1|，∴f()3223二、填空题(每小题5分，共15分)

5． (2012·江苏)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．

答案 (0，6]

解析 要使函数f(x)＝1－2log6x有意义，

x>0，

则

1－2log6x≥0.

解得01

6． 若f(x)＝ax－，且f(lg a)＝10，则a＝__________.

2

答案 10或10 10

1

解析 f(lg a)＝alg a－＝10，

2

112

∴lg(alg a－)＝lg10＝，∴2lga－lg a－1＝0，

22110

∴lg a＝1或lg a＝－，∴a＝10或a＝.

210

7． 已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，

其中c＝________. 答案 4

解析 ∵A＝(0,4]，又A⊆B，∴a>4. 即实数a的取值范围是(4，＋∞)，∴c＝4. 三、解答题(共25分)

8． (12分)已知函数f(x)＝logax＋b(a>0，b>0，a≠1)． x－b(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性． 解 (1)使f(x)有意义，则∵b>0，∴x>b或x<－b，

∴f(x)的定义域为{x|x>b或x<－b}． (2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，

x＋b>0， x－b－x＋bx－bx＋b－1

∵f(－x)＝loga＝loga＝loga－x－bx＋bx－b＝－logax＋b＝－f(x)． x－b∴f(x)为奇函数．

9． (13分)若函数y＝lg(3－4x＋x)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2

值及相应的x的值．

解 ∵y＝lg(3－4x＋x)，∴3－4x＋x>0， 解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1或x>3}，

2

2

2

x＋2

－3×4的最

xf(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.

令2＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或0x2242

∴f(t)＝4t－3t＝－3t－＋(t>8或033

由二次函数的性质可知， 4当08时，f(t)∈(－∞，－160)， 224x当2＝t＝，即x＝log2时，f(x)max＝.

333

24

综上可知，当x＝log2时，f(x)取到最大值，无最小值．

33

B组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 设f(x)＝lg( )

A．(－1,0) B．(0,1)

C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 A

解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1， 1＋x∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．

1－x1＋x由f(x)<0，可得0<<1，∴－11－x2． 已知函数f(x)＝|lg x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是 ( )

2＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是



1－x

A．(1，＋∞) B.[1，＋∞) C．(2，＋∞) D.[2，＋∞) 答案 C

解析 如图，由f(a)＝f(b)， 得|lg a|＝|lg b|.

设0＜a＜b，则lg a＋lg b＝0. ∴ab＝1，∴a＋b＞2ab＝2.

3． (2012·青岛模拟)已知函数f(x)＝a＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为

loga2＋6，则a的值为 ( ) 11

A. B. C．2 D．4 24答案 C

解析 当x>0时，函数y＝a，y＝logax的单调性相同，因此函数f(x)＝a＋logax是(0， ＋∞)上的单调函数，f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋a＋loga2，由题意得a＋a＋loga2＝6＋loga2.即a＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)． 二、填空题(每小题4分，共12分)

12

4． 函数f(x)＝log(x－2x－3)的单调递增区间是__________．

2

答案 (－∞，－1)

12

解析 设t＝x－2x－3，则y＝logt.

2由t>0解得x<－1或x>3，

故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

又t＝x－2x－3＝(x－1)－4在(－∞，1)上为减函数， 在(1，＋∞)上为增函数．

1

而函数y＝logt为关于t的减函数，

2

所以，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)．

1＋a5． (2012·南京质检)若log2a<0，则a的取值范围是____________．

1＋a2

2

2

2

2

2

xxx1答案 ，1 2

1＋a解析 当2a>1时，∵log2a<0＝log2a1，

1＋a2

1＋a2∴<1.∵1＋a>0，∴1＋a<1＋a， 1＋a12

∴a－a<0，∴021＋a当0<2a<1时，∵log2a<0＝log2a1，

1＋a1＋a2∴>1.∵1＋a>0，∴1＋a>1＋a， 1＋a∴a－a>0，∴a<0或a>1，此时不合题意．

2

2

2

2

1综上所述，a∈，1. 2

6． 设函数f(x)＝logax (a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x2 015)＝

________. 答案 16

解析 f(x1x2…x2 015)＝loga(x1x2…x2 015)＝8，

22

f(x21)＋f(x2)＋…＋f(x2 015)

2

2

2

＝logax1＋logax2＋…＋logax2 015

＝loga(x1x2…x2 015)＝2loga(x1x2…x2 015)＝16. 三、解答题(13分)

1－x7． 已知函数f(x)＝－x＋log2. 1＋x(1)求f

2

222

1＋f－1的值；

2 0142 014

(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求

出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由． 1－x1＋x解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2 1＋x1－x＝log21＝0.∴f

1＋f－1＝0.

2 0142 014

2

)， x＋1

(2)f(x)的定义域为(－1,1)， ∵f(x)＝－x＋log2(－1＋当x11－a∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2.

1＋a