函数的奇偶性的应用题型归纳

一、

求函数值

42例1、已知函数f(x)axcxx5，若f（－3）＝－3，求f（3）的值。 分析：若将f（－3）＝－3展开，显然无法求出a，c的值，只能将81a＋9c视为整体 来求f（3），进一步观察函数结构，可构造函数解题。

解：设g(x)axcx5，则g（x）为偶函数，且g（x）＝f（x）－x， 因为g(x)g(x),g(x)f(x)(x)，所以f(x)(x)f(x)x，

所以f(x)f(x)2x，所以f(3)f(3)6，又因为f(3)3，所以f(3)3.

二、

求函数解析式

42例2、已知f（x）是R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)x(13x)，求f（x） 的解析式。

分析：要求f（x）在R上的解析式，条件已给出f（x）在(0,)上的解析式，还需求当x0时f（x）对应的解析式。

解：方x(,0)，x(0,)，所以f(x)x(13x)x(13x) 因为f（x）是R上的奇函数，所以f(x)f(x)x(13x)，x(,0)，

x(13x),x0在f(x)f(x)中，令x＝0，得f（0）＝0，所以f(x)0,x0

3x(1x),x03x(1x),x0即f(x)

3x(1x),x0点评：利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：（1）设，即将自变量x设在未知区间上；

（2）化，即将x转化到已知区间上；（3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式。另外，若奇函数f（x）在原点处有定义，则f（0）＝0.

三、 比较大小

例3、已知f（x）是偶函数，且在区间[0，1]上是单调增函数，比较f(0.5),f(1),f(0) 的大小。

分析：由于f（x）不是具体的函数，所以无法将f(0.5),f(1),f(0)展开来比较大小，且0.5,1,0不在同一单调区间内，无法直接应用单调性比较，可应用奇偶性将自变量的值转化到同一单调区间内。

解：因为f（x）是偶函数，所以f(0.5)f(0.5),f(1)f(1)， 因为f（x）在区间[0，1]上是单调增函数，所以f(0)f(0.5)f(1)，

所以f(0)f(0.5)f(1).

四、

应用奇偶性求参数

3例4、已知f(x)3ax4bx3ab是奇函数，且其定义域为[2a－6，a]，则a＝____， b＝_________.

解：因为f(x)3ax4bx3ab是奇函数，所以定义域关于原点对称，且 f（－x）＝－f（x）恒成立，由2a－6＝－a，得a＝2，由f（－x）＝－f（x）恒成立，得

33ax34bx3ab3ax34bx3ab，所以3a＋b＝0，b＝－6，

故a＝2，b＝－6.

点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，由函数的奇偶性求参数是一类常见题型，常将其转化为恒等式问题来求解。

五、 确定函数图象

x3例5、函数y2的图象是（ ）

x1

分析：可根据奇、偶函数的图象特征来判断。

解：因为函数f（x）的定义域为R，且满足f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数， 所以f（x）的图象关于原点对称，故选C.

点评：奇、偶函数的图象具有对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。