指数函数与对数函数知识点总结

预计课时：2 学生姓名： 指导教师：

（一）指数函数

指数：

(1) 规定：

① a0＝ (a≠0)； ② a-p＝ ； ③ a n a m ( a  0 , m . (2) 运算性质：

rsrsa① aa a (  0 , (a>0, r、sQ) rsrsa),② ( a ( a  0 (a>0, r、sQ) rrrab)bb0,r、sQ) ③ ( a  ( a  0 , (a>0, r

mn注：上述性质对r、sR均适用.

2．指数函数：

① 定义：函数y=a（a>0,a≠0）称为指数函数 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ；

3) 当________时函数为x增大y减小，当_______时为x增大y增大函数.

② 函数图像：

a>1 00 0 定义域 R 值域y＞0 在R上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）

19373定义域 R 值域y＞0 在R上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 338152aaa; （2）例1. 已知a=,b=9.求： （1）aa1b1. (ab)1解：（1）原式=a7123.a3123÷［a

(81)32·a15132］= a716245()32=a.

121

∵a=19，∴原式=3.

（2）方法一 化去负指数后解.

11ab11 aba182(ab)1b1ab1ab.∵a=9,b9,∴a+b=9. abab方法二 利用运算性质解.

a1b111(ab)1aa1b1ba1b11b11a1ba. ∵a=1829,b9,∴a+b=

9.

变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）: 21131223（1）

(ab1)ab6ab5;

（2）516a3b2(3a1212b1)(4a3b3)2.

变式训练2：已知实数a、b满足等式(1a2)(13)b，下列五个关系式：a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （A.1个 B.2个 C.3个

例2. 求下列函数的定义域、值域：

f(x)=3x25x4;

解：（1）依题意x2

-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.

令u=x25x4(x5)2924,∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），

∴u≥0，即x25x4≥0，而f(x)=3x25x4≥30=1,

∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.

变式训练2：求下列函数的定义域与值域：

（1）.y=(16x2x2x2x62) (2).y=2

①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0

D.4个 2

＜ ）

2x变式训练3：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=x.

41（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；

解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).

2x2x∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-xx.

4141由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),

2x4x12xf（x）=x410x(0,1)x(1,0) x1,0,1得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有

（二）、对数函数

1．对数：

(1) 定义：如果abN(a0,且a1)，那么称logaN（a>0且a≠0，N>0）为对数函数，其中a称为对数的底，N称为真数.

① 以10为底的对数称为常用对数，log10N记作___________．

(e2.71828)② 以无理数e为底的对数称为自然对数，logeN记作_________．

(2) 基本性质：

① 真数N为 (负数和零无对数)；② log ；③ log ； 01a1aaaN④ 对数恒等式：alog ． N(3) 运算性质：

① loga(MN)＝___________________________；

3

② logaM＝____________________________；

N③ logaM＝ (n∈R).

④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)

nnlogbmab⑤ a .m

n2．对数函数：

a>1 0① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为随着x增大y减小，当______时为随着x增大y增大；

例1 计算：（1）log2

23(23)

（2）2(lg2)+lg2·lg5+(lg2)lg21;

2

解：（1）方法一 利用对数定义求值

设log(23)=x,则(2+3)=2-3=

23x

123=（2+3）,∴x=-1.

-1

方法二 利用对数的运算性质求解

log(23)=log23 23123=log23(2+3)=-1.

2-1

（2）原式=lg2（2lg2+lg5）+(lg2=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1| )2lg21=lg2+(1-lg2)=1. 变式训练1：化简求值. （1）log2

17+log212-log242-1;

248 （2）(log32+log92)·(log43+log83).

解：

4

例2 比较下列各组数的大小.

（1）log323与log565;

（2）log1.10.7与log1.20.7;

解：

变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga1b,logab,log1bb的大小关系是A.loga1logblog1 B.log11babbablogablogbb

C.logblog1log1 D.log1log1abbabbbablogab

）5

（