1已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
A D 求证：△PBC是正三角形．（初二）
P C B
2已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的
延长线交MN于E、F．
F 求证：∠DEN＝∠F． E
N C
D
A B
M 3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
D 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） G C E
P
A B Q 4、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）
D A
F E
B C
5、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．（初二）
A D F
B C F
E
6、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二） A D
B P C 7、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．（初二）
A P B 8、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） A
P
B C 9、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值． A E C D 10、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．
A P D 1.如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，BE=EC，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE交AB于点F，试探究线段DF与EF的数量关系，并加以证明。
B C 3：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形. (1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.
A E
D
F
4：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF 。 （1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。 （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
B
C
5：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，D∥BC交AC于点F． （1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形．
6：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋
33PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线
段PG的长。
解：
7：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的
E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积. (2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
AFBEHDAFBEDG图（1）
CGACFH(A)E(B)DB图（2）
GC
8：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、
C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：①PE=PD ； ②PE⊥PD； （2）设AP=x, △PBE的面积为y.
A P D
B ① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值
E
C 9：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线
的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？
若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2DG2的值．
10．如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC、CD于点P、Q，分别交AB、AD的延长线于点E、F．已知BE=BP． 求证：（1）∠E=∠F．
（2）□ABCD是菱形．
11．如图10，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，
线段BE与CD相交于点O，连结DOA． （1）求证：BE = DC；
A（2）求∠BOD的度数； E（3）求证：OA平分∠DOE．
O
B12图10
C12．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边
BC于点F
，连接BE，DF．
（1）求证：ADPEPB； （2）求CBE的度数； （3）当
AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由 AB13．某天然气供应站根据实际情况，每天从零点开始至凌晨4点，只打开进气阀,在以后 的16小时(4：00—20：00),同时打开进气阀和供气阀, 20：00—24：00只打开供气阀．已知气站每小时的进气量和供气量是一定的，图11反映了气站某天的储气量y (米)与x(小时)之间的关系．
（1）①0：00—4：00之间气站每小时增加的储气量为________米，
②4：00—20：00之间气站每小时增加的储气（2）求20：00—24：00时，y与x的函数关系式，图象．
14、已知：如图，RtABC中，ACB=90136120y（米3）33量为________米； 并画出函数
3，20O48121620AC=BC，将
24x(小时）图11 直角三角板中45角的顶点放在点C处．并将三角板绕点C旋转，三角板的两边分别交AB边于D、E两点(点D在点E的左侧，并且点D不与点A重合，点E不与点B重合)，设AD=m,DE=x,BE=n. (1)判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由； (2)当三角板旋转时，找出AD、DE、BE三条线段中始终最长的线段，并说明理由． 15、 直角三角形纸片
ABC中，∠ACB=90°,AC≤BC,如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D,设折痕与AB、AC边，分别交与点E、点F.
探究：如果折叠后的△CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的．．．图形。 解：
16、已知如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分仙于D，交BC于E点．求证：CE=2BE．
17、已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若CD⊥BD于D点，
且BD交AC于E点，问当BD满足什么条件时CD=BE?并证明你的判断．
18、如图，在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交x轴正半轴于A(-1,0),交y轴正半轴于B,C是x轴负半轴上一点，且CA=积为6。
（1）求C点的坐标。 （2）求直线AB的解析式。
（3）D是第二象限内一动点，且OD⊥BD,直线BE垂直射线CD于额，OF⊥CD交直线BE 于F .当线段OD,BD的长度发生改变时，∠BDF的
大小是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值。
y B 123CO,△ABC的面4 19、某
y C A O x 研究性学习小组在探究
C D O F E x 矩形的折纸问题时，将一块直角三
角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩
形ABCD的边CD、BC的交点. A
B O N C D A D M O B N C A D O B N C → →
（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN＝CD＋CN；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2＝BN2＋CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由. ．．．．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由.
20、已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100,E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF. （1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由；
CEFB图①
222
图② 图③
OA
