上海市高考数学真题卷

考生注意

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合A1,2,3,4,B3,4,5,则AB .

【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题 【答案】3,4

m2.若排列数P6654,则m .

【解析】本题考查排列的计算，属于基础题 【答案】3 3.不等式

x11的解集为 . x【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题 【答案】,0

4.已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于 . 【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，R336R3,

所以SR29，属于基础题

【答案】9

4330，则z . z3【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，z0z23设zabi，

z5.已知复数z满足z22则ab2abi3a0,b3i,

za2b2，属于基础题

【答案】3 x2y21b0的焦点为F1、F2,P为该双曲线上的一点.若PF15,则6.设双曲线

9b2PF2 .

【解析】本题考查双曲线的定义和性质，PF1PF22a6（舍），PF2PF12a6PF211

【答案】11

7.如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若DB1的坐标为(4,3,2),则AC1的坐标是 .

【解析】本题考查空间向量，可得A(4，0，，0)C1(0，3,2)AC1(4，3，2),属于基础题 【答案】(4，3，2)

3x1,x0,-18.定义在(0,)上的函数yf(x)的反函数yf(x).若g(x)为奇函数，则f(x)=2f(x),x0-1的解为 .

【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题 x0,x0,g(x)3x1g(x)g(x)1当x2时，f(x)【答案】x11,所以, f(x)13x3x

88,所以f1()2 998 91139.已知四个函数：①yx；②y；③yx；④yx2.从中任选2个，则事件 “所选2个函

x数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 .

【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题 总的情况有：C46种，符合题意的就两种：①和③，①和④ 【答案】

213

210.已知数列an和bn,其中ann,nN，bn的项是互不相等的正整数.若对于任意nN，bn中

的第an项等于an中的第bn项，则

lgb1b4b9b16 .

lgb1b2b3b422222【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题

由题意可得：banabnbn2(bn)b1b1,b4b2,b9b3,b16b4，

lgb1b4b9b16lgb1b2b3b4=2 所以

lgb1b2b3b4lgb1b2b3b4【答案】2

11.设1，2R,且

2112，则1012的最小值等于 .

2sin12sin(22)1111,1，,12sin132sin(22)3【解析】考查三角函数的性质和值域，

，

12k12sin=111112,k1,k2Z 2则要使

12sin12sin(22) ，=12k242sin(22)31012min10(2k1k2)4【答案】

min4,

当2k1k2=11时成立

12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P“▲”的点在正方形的顶点处.1,P2,P3,P4以及四个标记为设集合=P点P.过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1(lP)1,P2,P3,P4，和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和.若过P的直线lP中有且只有一条满足

4

D1(lP)=D2(lP)，则中所有这样的P为 .

【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。四个标记为“▲”的点的坐标分别为(0,3),(1,0),(4,4),(7,1),设过P点的直线为：axbyc0, 此时有向距离d13bcab22，d2acab22,d34a4bcab22,d47abcab22 且由d1+d2+d3+d412a8b4c03a2bc0

222ab则过P1的直线满足4bc0;此时3,直线为：bxby4b0b(xy4)0：

33c4b所以此时满足题意的直线为：2xy4=0 3则过P2的直线满足3a2bc0;此时有无数组解，例如：直线x3，直线y2等都满足题意. 则过P3的直线满足4a2bc0;此时所以此时满足题意的直线为：y2=0.

a0，直线为：by2b0b(y2)0,

c2b4

44ab

则过P4的直线满足6a6bc0;此时 bxby2b0b(xy2)0：3,直线为：

33c2b

所以此时满足题意的直线为：【答案】P1,P3,P4

4xy20 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.关于x、y的二元一次方程组x5y0，的系数行列式D为（ ）

2x3y4 A．

0543 B．

151060C．D．

23 24 54

【答案】C

114.在数列an，an,nN,则liman（ ）.

n2A．等于【答案】B

2*15．已知a、b、c为实常数，数列xn的通项xnanbnc,nN，则“存在kN*,使得

n1 2B．等于0C．等于D．不存在

2

1x100k,x200k,x300k成等差数列”的一个必要条件是（ ）

A．a0 【答案】A

B．b0 C．c0 D．a2bc0

x2y2y221和C2:x+1.P为C1上的动点，Q为C216．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1:39是OPOQ的最大值.记=上的动点，

A．元素个数为2

Q在CP,Q|P在C上，

12上，且OPOQ=，则中（ ）

B．元素个数为4 C．元素个数为8 D．含有无穷个元素

【答案】D

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5.

（1）求三棱柱ABCA1B1C1的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小。 【答案】（1）VABCA1B1C1（2）arctan5

1245202

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数fxcos2xsin2x（1）求fx的单调递增区间；

（2）设ABC为锐角三角形，角A所对的边a19，角B所对的边b5.若fA0，求ABC的面积. 【答案】（1）（2）S1,x0,. 2, 2ABC153 419．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

根据预测，某地第nnN*个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中

5n415,1n3,bnn5.第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损an10n470,n4,失量的差.

（1）求该地第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn4n468800（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935

214,n1102,n2 （2）Q514,n3 ，所以当n42 时Q取最大值，为8782

11n2919n815,n422 此时 S42442468800=87368782，所以当Q取最大值时，停放点不能容纳 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

2x2y21，A为的上顶点，P为上异于上、下顶点的动点.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:4M为x正半轴上的动点.

（1）若P在第一象限，且OP2，求P的坐标；

（2）设P,.若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若MAMP,直线AQ与交于另一点C，且AQ2AC，PQ4PM，求直线AQ的方程.

8355【答案】 （1）P2363,3； 293,0或M,0或M1,0； 2055x1 10（2）M（3）y解析（3）∵点P是上一动点，设P2cos,sin，且A0,1。 t0，Mt,0，Cxc,yc，Qxq,yq，记线段AP中点为点Nxn,yn，则Ncos,sin1 242cost34t6cosxq4133∵PQ4PM，∴PQQM，∴，Q4t6cos,3sin；

44sin0y33sinq413又AQ2AC，∴ACCQ，∴C是AQ中点，∴C2t3cos,13sin 22又∵C是2t3cos上的一点，∴

4213sin4212t236tcos3sin0

∵MAMP，∴MAP为等腰三角形，N为底边AP中点，∴MNAP ∵MNcost,sin1，AP2cos,sin1， 2∴MNAP2coscost1sin1sin10 2（1）若cos0，则P0,sin，由P不在上顶点可知，sin1，P为下顶点，sin1，P0,1 ∴2t36t0310t3，无解；

22（2）cos0，则3cos4t0t23cos0，∴cos0 433∴2cos36coscos3sin09sin28sin10

44∴sin3455451或1（舍），∴cos，∴t

49399∴Q45155yx1 ，∴，∴直线AQ方程k,AQ103345100311321．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

设定义在R上的函数fx满足：对于任意的x1，x2R，当x1x2时，都有fx1fx2. （1）若fxax1，求a的取值范围；

3（2）若fx是周期函数，求证：fx是常值函数；

（3）若fx恒大于零.gx是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是gx的最大值.函数

“hx是周期函数”的充要条件是“fx是常值函数”. hxfxgx，证明：

3【答案】（1）记x1x2，若fx1fx2，fxax1

3330，∴a0 则fx1fx2ax1x20，∵x1x2，∴x13x2（2）若fx是周期函数，记其周期为Tk，任取x0R，则有fx0fx0Tk

又由题意，对任意xx0,x0Tk,fx0fxfx0Tk，∴fx0fxfx0Tk 又∵fx0fx0nTk,nZ，并且

所以对任意xR，fxfx0C，为常数，证毕。

（3）充分性：若fx是常值函数，记fxc1，设gx的一个周期为Tg，则

hxc1gx，则对任意x0R，hx0Tgc1gx0Tgc1gx0hx0，故hx是周期

函数成立。

必要性：若hx是周期函数，记其一个周期为Th。集合Ax|gxm

任取x0A，则必存在N2N，使得x0N2Thx0Tg，即x0Tg,x0x0N2Th,x0， ∴...x02N2Th,x0N2Thx0N2Th,x0x0,x0N2Thx0N2Th,x02N2Th...R

因为gx0Mgx0N2Th0，fx0fx0N2Th0，因此若hx0hx0N2Th 必有gx0Mgx0N2Th，且fx0=fx0N2Thc，而由第（2）问证明可知对任意xR，

fxfx0C，为常数。必要性证毕。