1.1 集合与常用逻辑用语(改)1

本章知识结构图

集合元素的特征 确定性、互异性、无序性 无限集 集合 集合的分类 有限集 空集 真子集 集合间的基本关系 子集 相等 交集A∩B 集合间的基本运算 并集A∪B 补集ðA IVenn图、数轴 全称命题与存在性命题 且：p∧q 命题 复合命题 简易逻辑 或：p∨q 非：┐p 全称量词：任意；存在量词：存在 一假则假，两真为真 一真便真，两假为假 原命题：若p，则q 互逆 互为逆否 逆命题：若q，则p 关系 互否 否命题：若┐p,则┐q 互否 等价关系 逆否命题：若q,则p 互逆 充要条件 充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件 第一节 集 合 考纲解读

1.集合的含义与表示．了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．

2.集合间的基本关系．理解集合之间包含与相等的含义．能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义．

3.集合的基本运算．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 命题趋势探究

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．

预测2019年高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对．具体估计为：

（1）以选择题或填空题形式出现．北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现．考查学生的综合推理能力．

（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用． 知识点精讲

一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2．集合元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．

（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如a,b,ca,c,b． 3．集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示

R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集N或N一正整数集 C一复数集 二、集合间的关系

1．元素与集合之间的关系

元素与集合之间的关系包括属于(记作aA)和不属于(记作aA)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．

子集：如果对任意aAAB，则集合A是集合B的子集，记为AB或BA，显然AA．规定：A．

*（2）相等关系．

对于两个集合A与B，如果AB，同时BA，那么集合A与B相等，记作AB． （3）真子集关系．

对于两个集合A与B，若AB，且存在bB，但bA，则集合A是集合B的真子集，记作AÜB或BÝA．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 三、集合的基本运算

集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11所示．

表11 交集 并集  ABx|xA且xB ABx|xA或xB A B  A B 补集 ðIA ðIAx|xI且xA ðIAI A 1．交集

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即

ABx|xA且xB．

2．并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即

ABx|xA或xB．

3．补集

已知全集I，集合AI，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集I的补集，记作ðIA，即ðIAx|xI且xA．

四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．

ABBA，ABA，ABB AIA，AAA，A． （2）并集的运算性质．

ABBA，AAB，BAB AII，AAA，AA． （3）补集的运算性质．

痧I(IA)A，ðII，ðII (ðIA)A，A(ðIA)I．

补充性质：ABAABBAB痧IBIAA?IB．

（4）结合律与分配律．

结合律：A(BC)(AB)C A(BC)(AB)C．

)(AB)(A．C) 分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC（5）反演律（德摩根定律）．

痧I(AB)(IA)(?IB) 痧I(AB)(IA)(?IB)．

即“交的补补的并”，“并的补补的交”．

2．由n(nN*)个元素组成的集合A的子集个数A的子集有2个，非空子集有21个，

n真子集有21个，非空真子集有22个．

nnn3．容斥原理

Card(AB)Card(A)Card(B)Card(AB)．

题型归纳及思路提示

题型1 集合的基本概念

思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设a,bR，集合1,ab,a0,b,b，则ba（ ） aA．1 B．1 C．2 D．2

变式1 已知集合A1,2,3,4,5,B(x,y)|xA,yA，则B中所含元素的个数为（ ）．

A．3 B．6 C．8 D．10

变式2 (2017济南调研)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( ) A．9

B．8

C．7

D．6

题型2 集合间的基本关系 思路提示

（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．

（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析． 一、集合关系中的判断问题

例1.2 若Ax|x4n1,nZ,Bx|x4n3,nZ,

． Cx|x8n1,nZ，则A，B，C之间的关系为（ ）A．C苘B

A B．AÜBC C．CÜAB D．ABC

变式1 设集合Mx|xk1k1,kZ，Mx|x,kZ，则 2442A．MN B．MÜN C．MÝN D．MN

二、已知集合间的关系，求参数的取值范围

2例1.3 设Ax|x8x150,Bx|ax10.若BA，则实数a组成的集合为

（ ）.

1111111 B.或 C.0或或 D.0或-或 5353535分析：解方程ax10，建立a的关系式求a，从而确定集合C.

A．或

13评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.

（2）含参数的一元一次方程axb解的确定：

当a0时，方程有唯一实数解xb； a当ab0时，方程有无数多个解，可为为任意实数； 当a0且b0时，方程无解.

变式1 已知集合A1,3,m,B1,m,ABA，则m（ ）

A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3

{x|xa}，若AB，则实数a的例1.4 已知集合A＝{x|x2－2?017x＋2?0160}，B＝取值范围是__________________．

变式1 若将例1.4中的集合B改为x|xa，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

2变式2 已知集合Ax|x3x100，集合Bx|p1x2p1，若BA，

求实数p的取值范围.

2变式3 已知集合Px|x1,Ma，若PMM，则a的取值范围是（ ）

A．(,1] B．[1,) C．[1,1] D．(,1][1,)

三、集合关系中的子集个数问题

2例1.5 已知集合Ax|x3x100,xZ，则集合A的子集个数为 . 分析：本题应首先确定集合A中元素的个数，再求其子集的个数.

2例1.6 已知集合Ax|x3x20,xR,Bx|0x5,xN，满足条件

ACB的集合C的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

*变式1 已知集合M满足1,2ÜMx|x10,xN，求集合M的个数.



题型3 集合的运算 思路分析

凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想. 一、集合元素属性的理解

例1.7 已知集合My|yx21,xR,Nx|y9x2，则MN（ ） A．x|1x3 B．x|1x3 C．x|1x3 D．x|1x4 分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断M、N是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合M代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合N的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.

变式1（2017•山东）设函数y则AB=（ ） A．（1,2）

B．（1,2]

C．（﹣2,1）

D．[﹣2,1）

的定义域为B，（1x）4x2的定义域为A，函数yln变式2 已知集合AxR||x3||x4|9,ByR|y4x16,x0，则x集合AB .

变式3 设全集I(x,y)|x,yR，集合

M(x,y)|y3x21,N(x,y)|yx，那么(痧IM)(IN)（ A． B．(2,3) C．(2,3) D．(x,y)|yx1

）

二、数轴在集合运算中的应用

例1.8 设集合Sx||x2|3,Tx|axa8,STR，则a的取值范围是（ ）

A．(3,1) B．[3,1] C．([1,) D．((1,) 分析：借助数轴表示集合S和集合T，根据集合的关系，求解参数的取值范围.

变式1已知全集UR，集合Ax|2x3,Bx|x1或x4，那么集合

A(ðUB)（ ）.

A. x|2x4 B.x|x3或x4 C.x|2x1 D.x|1x3

变式2 已知集合Mx|x30,Nx|x3，则集合x|x1（ ）. x1A．MN B．MN C．ðR(MN) D．ðR(MN)

2变式3已知集合Ax|x4mx2m60,xR.若A(,0)，则实数m的

取值范围是 .

三、韦恩图在集合运算中的应用

例1.9 设U为全集，M，P是两个非空集合，定义M与P的差集

MPx|xM且xP，则M(MP)（ ）.

A．P B．MP C．MP D．M

分析：本题可利用题中所给定义MP表示从集合M中去掉属于集合P的元素解题.

评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.本题也可用举例法求解，比如

M2,4,P1,3,5，根据定义得出所求集合为空集.故选B.

变式1 设全集UMN1,2,3,4,5，MðUN2,4，则N（ ）. A．1,2,3 B．1,3,5 C．1,4,5 D．2,3,4

例1.10 如图1-3所示，I是全集，A,B,C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A．(AB)C B．(AðIB)C C．(AB)ðIC D．(ðIBA)C 分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.

变式1 已知M,N为集合I的非空子集，且M,N不相等，若N(ðIM)，则MN（ ）

A．M B．N C．I D．

四、以集合为载体的创新题

例1.11 设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么称k是A的一个孤立元，给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个.

变式1 定义一种新的集合运算：AB＝{x|xA，且xB}．若集合

A＝{x|x2－4x＋30},B＝{x|2x4}，则按运算，BA等于( )

A．{x|3x4}? C．{x|3x4}

评注 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

B．{x|3x4} D．{x|2x4}

最有效训练题1（限时45分钟）

21. 集合PxZ|0x3,MxR|x9，则PM（ ）.

A．1,2 B．0,1,2 C．x|0x3 D．x|0x3 2．若Ax|y4x2,By|yx21，则AB（ ） A．(1,) B．[1,2] C．[0,) D．(0,)

3．设全集U1,2,3,4,5,6,7,8.集合A2,4,5,7，B1,4,7,8，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（ ）

A．3,6 B．2,4,6 C．2,6 D．3,4,6

U A B 图 1—5

4．已知全集IR，集合Mx||x|2,xR,Px|xa，并且MÜðIP，那么a的取值范围是（ ）

A．2 B．a|a2 C．a|a2 D．a|a2

5．设集合Ax||xa|1,xR,Bx|1x5,xR.若AB，则实数a的取值范围是（ ）

A．a|0a6 B．a|a2或a4 C．a|a0或a6 D．a|2a4 6．设全集U(x,y)|xR,yR,A(x,y)|2xym0,B(x,y)|xyn0 ，那么P(2,3)A(ðUB)的充要条件是（ ）

A．m1且n5 B．m1且n5 C．m1且n5 D．m1且n5

{(x,y)||x|2,|y|2,x,yZ}，定7．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y21,x,yZ}，B＝义集合AB＝{(x1＋x2,y＋x1,y)B}，则AB中元素的个数为1y2)|(1A,(x,2y)2( ) A．77

B．49

C．45

D．30

8．若集合x,xy,lg(xy)0,|x|,y，则x ，y ． 9．已知集合AxR||x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且

AB(1,n)，则m ，n .

10. 已知集合A满足条件：当pA时，总有则集合A中所有元素的积等于 .

11. 已知集合Ax|x1,Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是 .

12．已知集合A,B满足Ax|2x7,Bx|n1x2m1，且B.若

1A（p0且p1）.已知2A，p1(ðUA)B，则m的取值范围是 .

213.已知集合A(x,y)|xmxy20,xR，

B(x,y)|xy10,0x，若AB，求实数m的取值范围.