2019西城一模数学试题及答案

西 城 区 九 年 级 统 一 测 试

2019.4

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． ．．1．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为

2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

（A）ab

（B）ab0

（C）ac0 （D）ac

2xy0,3．方程组的解为

5x2y9x1, x3, （A）（B）

y7y6

4．如图，点D在BA的延长线上，AE∥BC．若∠DAC=100°， ∠B=65°，则∠EAC的度数为 （A）65° （B）35° （C）30° （D）40°

5．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约 （A）4×1013千米 （B）4×1012千米

2x1,（C）

y2x1, （D）

y2

（C）9.5×1013千米 （D）9.5×1012千米

a292a26．如果a3a10，那么代数式的值为 6aa3 （A）1 （B）1

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（C）2 （D） 2

7．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数． 有如下三个结论： ①上午派送快递所用时间最短的是甲； ②下午派送快递件数最多的是丙； ③在这一天中派送快递总件数最多的是乙． 上述结论中，所有正确结论的序号是 （A）①② （B）①③ （C）② （D）②③

8．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．

下列说法中错误的是

（A） 勒洛三角形是轴对称图形 （B）图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等

（C） 图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心O1的距离都相等 （D） 图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段________． 10．若x3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________． 11．分解因式：ab225a ．

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12．如图，点O，A，B都在正方形网格的格点上，将△OAB

绕点O顺时针旋转后得到△OA′B′，点A，B的对应点 A′，B′也在格点上，则旋转角（0180）的度数 为_________°．

13．用一组a，b的值说明命题“对于非零实数a，b，若ab，则

值可以是a= ，b= ．

14．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD

沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处． 若DE=5，FC=4，则AB的长为________．

15．小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络

评价选取该城市的一家餐厅用餐．小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：

11”是错误的，这组ab（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星．） 小芸选择在 （填“甲”、“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大．

16．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收

费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：

收费出口编号 通过小客车数量（辆）A，B 260 B，C 330 C，D 300 D，E 360 E，A 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是 ．

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三、解答题（本题共68分，第17﹣22题，每小题5分，第23﹣26题，每小题6分，第27，

28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：5122sin60(2019)0．

4(2x1)3x1,18．解不等式组3x8

x．5

19．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其

对角线的夹角为60°”的尺规作图过程． 已知：⊙O．

求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，

且其对角线AC，BD的夹角为60°． 作法：如图，

①作⊙O的直径AC；

②以点A为圆心，AO长为半径画弧，

交直线AC上方的圆弧于点B；

③连接BO并延长交⊙O于点D； ④连接AB，BC，CD，DA．

所以四边形ABCD就是所求作的矩形．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．

证明：∵点A，C都在⊙O上， ∴OA= OC．

同理OB=OD．

∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°（__________）（填推理的依据）．

∴四边形ABCD是矩形．

∵AB=______ =BO， ∴∠AOB=60°．

∴四边形ABCD是所求作的矩形．

20．已知关于x的一元二次方程x2bxc0．

（1）当cb2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的

根．

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21．如图，在△ABC中，AC=BC，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF． （1）求证：四边形DFCE是菱形；

（2）若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积．

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：yxb与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．双

曲线y

k

与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标． x

（1）求点B的坐标；

（2）当点P的横坐标为2时，求k的值； （3）连接PO，记△POB的面积为S，若

1S1，直接写出k的取值范围． 2

23．如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B．点D在⊙O上，且BC=BD，连接CD

交⊙O于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F． （1）求证：∠MED=∠MDE；

（2）连接BE，若ME=3，MB=2，求BE的长．

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小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对

应值；

x/cm 0 5 4 1 4.9 3.32 2 2.47 3 4 1.4 4 3 0 5 0 3 y1/cm y2/cm （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），

（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时， DA的长度约为___________cm．

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25．某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部

门，且各部门的人数相同．为了解午餐的浪费情况，公司从这10个部门中随机抽取了A，B两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a. A部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，

6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12）：

b. A部门每日餐余重量在6≤x<8这一组的是： 6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8 c. B部门每日餐余重量如下：

1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8

6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8

d. A，B两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：

部门 A B

根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是 （填“A”

或“B”），理由是 ； （3）结合A，B这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240

个工作日计算）的餐余总重量．

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2mxn． （1）当m2时，

①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；

②若点A（2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2y1，则x2的取值范围 是_____；

（2）已知点P（1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n3时，若抛

物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．

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平均数 6.4 6.6 中位数 m 7.2 众数 7.0 n

27．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针

旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．

（1）求证：FB=FD；

（2）点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N．

①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；

②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值．

28．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N

（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点． （1）如图1，已知点A（0，3），B(2，3)．

①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值 是________，最大值是______；

3②在P(,0)，P2(1,4)，P3(3,0)这三个点中，与点O是12线段AB的一对平衡点的是_________；

（2）如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E（x，2）在第一象限，

且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；

（3）如图3，已知点H(3，0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点

K．点C(a，b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆．若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．

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北京市西城区2019年九年级统一测试

数学试卷答案及评分参考 2019.4

一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C 二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．AF． 10．x3． 11．a(b5)(b5)． 12．90．

13．答案不唯一，如：a=1，b=1． 14．8． 15．丙． 16．B．

三、解答题（本题共68分，第17﹣22题，每小题5分，第23﹣26题，每小题6分，第27，

28题，每小题7分） 17．解：原式=523231 ………………………………………………………4分 2=43． ……………………………………………………………………5分

4(2x1)3x1,① 18．解：原不等式组为3x8

x．② 5 解不等式①，得x1． ……………………………………………………………2分 解不等式②，得x4． …………………………………………………………4分 ∴原不等式组的解集为4x1． ………………………………………………5分 19．解：（1）补全的图形如图所示： ……………………………3分

（2）直径所对的圆周角是直角，

AO． …………………………………………………5分

20．（1）证明：∵cb2，

∴b24c ……………………………………1分

b24(b2)

(b2)24． ………………………………………………………2分 ∵(b2)20，

∴(b2)240，即0．

∴方程有两个不相等的实数根． …………………………………………3分 （2）解：由题意可知，b24c，c0．

以下答案不唯一，如：

当b2，c1时， ……………………………………………………………4分 方程为x22x10．

解得x1x21． …………………………………………………………5分

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21．（1）证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，

∴DE=

1BC=FC， 21DF=AC=EC． …………………………………………………………1分

2∵AC=BC，

∴DE=FC=DF=EC． ………………………………………………………2分 ∴四边形DFCE是菱形． …………………………………………………3分 （2）解：过点E作EH⊥BC于点H，如图．

∵AC=BC， ∴∠A =∠B． ∵∠A=75°，

∴∠C =180°－∠A－∠B=30°． …………………………………………4分 ∵AC=4，

∴CE=CF=2．

在Rt△EHC中，EH=

1CE=1， 2∴菱形DFCE的面积=CF·EH=2． …………………………………………5分

22．解：（1）∵直线l：yxb与x轴交于点A（2，0），

∴02b，解得b2． …………………………………………………1分 ∵直线l：yx2与y轴交于点B， 令x0，则y2，

∴点B的坐标为（0，2）． …………………………………………………2分

（2）∵点P在直线l：yx2上，且点P的横坐标为2，

∴点P的纵坐标为4．

k

上， x

∴k8． ………………………………………………………………………3分 ∵点P在双曲线y

35 （3）1k或k3． …………………………………………………5分

4423．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，

∴CB⊥AB． ………………………………………………………………1分 ∴∠ABC=90°． ∵EF⊥AB于点H， ∴∠AHE=90°． ∴∠ABC=∠AHE． ∴CB∥EF．

∴∠C=∠MED． ……………………………………………………………2分

∵BC=BD，

∴∠C=∠MDE．

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∴∠MED=∠MDE． ………………………………………………………3分 （2）解：如图．

∵AB是⊙O的直径，AB⊥EF， ∴BE=BF． ……………………………………………………………………4分

∴∠BDE=∠BEF． ∵∠DBE=∠EBM，

∴△DBE∽△EBM． …………………………………………………………5分

BDBE． BEBM∴BE2BDBM． ∵∠MED=∠MDE， ∴ME=MD=3． ∵MB=2，

∴BD= MB+MD=5． ∴BE210．

∴

∴BE10． ………………………………………………………………6分

24．解：本题答案不唯一，如：

（1）4.58；…………………………………………………………………………2分

（2）图象如图所示；

……………………………4分

（3）1.4或4.74． ……………………………………………………………………6分 25．解：（1）6.8，6.9； ……………………………………………………………………2分 （2）A，A部门每日餐余重量的平均数、中位数都比B部门的小，说明A部门“适

度取餐，减少浪费”做得较好；………………………………………………4分

（3）(6.46.6)26.5（千克）， ………………………………………………5分

． ………………………………………………6分 6.51024015600（千克）

答：估计该公司一年的餐余总重量约为15600千克． 26．解：（1）①∵m2， ∴抛物线为yx22xn．

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21， 2 ∴抛物线的对称轴为直线x1． …………………………………………1分 ∵当x1时，y12nn1， ∵x ∴顶点的纵坐标为n1． …………………………………………………2分 ②x22或x24． …………………………………………………………4分 （2）∵点P（1，2）向右平移4个单位得到点Q， ∴点Q的坐标为（3，2）． ∵n3，

∴抛物线为yx2mx3．

当抛物线经过点Q（3，2）时，2323m3，解得m10． 3当抛物线经过点P（1，2）时，2(1)2m3，解得m2．

12m2 当抛物线的顶点在线段PQ上时，2，解得m2．

410 结合图象可知，m的取值范围是m2或m2或m． ……………6分

327．（1）证明：∵∠ABC=90°，BA=BC， ∴∠BAC=∠ACB=45°．

∵AB绕点A逆时针旋转90°得到AD， ∴∠BAD=90°，AB=AD．

∴∠DAF=∠BAD－∠BAC=45°．

∴∠BAF=∠DAF． …………………………………………………………1分 ∵AF=AF，

∴△BAF≌△DAF．

∴FB=FD． …………………………………………………………………2分

（2）①AH与BF的位置关系：AH⊥BF． ……………………………………………3分 证明：连接DC，如图．

∵∠ABC+∠BAD=180°， ∴AD∥BC． ∵AB=BC=AD，

∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形．

∴AB=DC，∠ADC=∠DCB=90°． ∴∠ABH=∠DCE． ∵BH=CE，

∴△ABH≌△DCE． ∴∠BAH=∠CDE．

∵△BAF≌△DAF，

∴∠ABF=∠ADF．

∴∠BAH＋∠ABF=∠CDE＋∠ADF=∠ADC=90°．

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∴∠ANB=180°－(∠BAH＋∠ABF )=90°．

∴AH⊥BF． ……………………………………………………………5分

②51． …………………………………………………………………………7分

28．解：（1）①3，13；……………………………………………………………………2分

②P1； …………………………………………………………………………3分 （2）设点D（5，0）与⊙O上一点的距离为d1，则4d16． 设点E（x，2）与⊙O上一点的距离为d2，连接OE，如图，

则OE1d2OE1．

∵点D与E是⊙O的一对平衡点， ∴OE16且OE14． ∴3OE7．

过点E作EF⊥OD于点F． ∵点E在第一象限， ∴OF=x，EF=2．

∴在Rt△OEF中，OE2OF2EF2x24． 当OE=3时，32x24，解得x5（舍负）． 同理，当OE=7时，可得x35．

∴5x35． ……………………………………………………………5分

（3）

414b5． ………………………………………………………………7分 3 第13页（共8页）