11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
知识要点基础练
知识点1 多边形及其相关概念
1.下列说法正确的是(B)
A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B.多边形相邻两边组成的角是这个多边形的内角 C.连接多边形的两顶点的线段,叫做多边形的对角线 D.四边形是边数最少的多边形 2.下列各图中,是凸多边形的是(D)
知识点2 多边形的对角线
3.若从多边形的一个顶点出发,最多可以引9条对角线,则它是(B) A.十三边形 C.十一边形
B.十二边形 D.十边形
4.【教材母题变式】从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,它们将六边形分成n个三角形,则m,n的值分别为(C) A.4,3
B.3,3
知识点3 正多边形
C.3,4
D.4,4
5.下列说法正确的是(C)
A.每条边相等的多边形是正多边形 B.每个内角相等的多边形是正多边形
C.每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形 D.以上说法都正确
6.下列图形中,是正多边形的是(C) A.等腰三角形 C.正方形
B.长方形
D.五边都相等的五边形
综合能力提升练
7.多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形,则经过这一点的对角线的条数是(C) A.8
B.9
C.10
D.11
【变式拓展】一个六边形截去一个角后,所形成的新多边形共有 5或9或14 条对角线.
8.关于正多边形的特征,下列说法正确的有 ①②③⑤ .
①各边相等;②各个内角相等;③各个外角相等;④各条对角线相等;⑤从一个顶点出发的
对角线有(n-3)条;⑥从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的(n-2)个三角形. 9.若一个多边形内角的个数是过它的一个顶点的对角线数的4倍,那么这个多边形是 四 边形.
10.过m边形的一个顶点有4条对角线,n边形没有对角线,p边形有p条对角线,则(m-p)= 8 .
11.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n+2n .
2
n
12.如图所示,①中多边形(边数为12)是由正三角形“扩展”而来的,②中多边形是由正方形“扩展”而来的,…,依此类推,则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 n(n+1) .
13.画出下列多边形的全部对角线.
解:如图所示.
14.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线,该n边形的周长为56,且各边长是连续的自然数,求这个多边形的各边长. 解:依题意有n-3=4,解得n=7, 设最短边为x,则 7x+1+2+3+4+5+6=56, 解得x=5.
故这个多边形的各边长是5,6,7,8,9,10,11.
15.在多边形边上或内部取一点,与多边形各顶点的连线将多边形分割成若干个小三角形,图1给出了四边形的具体分割方法,分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形. (1)请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割,并写出每种方法所得到的小三角形的个数;
(2)当多边形为n边形时,按照上述方法进行分割,写出每种分法所得到的小三角形的个数.
解:(1)如图所示.
所分割成的三角形的个数分别是4个,5个,6个. (2)结合两个特殊图形,可以发现:
第一种分割法把n边形分割成了(n-2)个三角形; 第二种分割法把n边形分割成了(n-1)个三角形; 第三种分割法把n边形分割成了n个三角形.
16.如图,用钉子把木棒AB,BC和CD连接起来,用橡皮筋把A,D两端连接起来,设橡皮筋AD的长是x cm.
(1)若AB=5 cm,CD=3 cm,BC=11 cm,求x的最大值和最小值.
(2)在(1)的条件下要围成一个四边形,你能求出橡皮筋长x的取值范围吗?
解:(1)最大值应该是所有其他三条线段的和,即最大值是5+3+11=19(cm); 最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长,即最小值是11-3-5=3(cm).
(2)由(1)中的最大值和最小值可得要围成一个四边形,橡皮筋长x的取值范围为3 cm拓展探究突破练17.观察下面图形,并回答问题.
(1)四边形有 2 条对角线;五边形有 5 条对角线;六边形有 9 条对角线. (2)根据规律七边形有 14 条对角线,n边形有 条对角线.
(3)为丰富学生的课余生活,合肥市第一中学8个班级之间举行篮球赛活动,如果采取单循环比赛(每两个班级之间只进行一场比赛),则篮球赛共需赛多少场? 解:(3)当n=8时,=20(场), 答:篮球赛共需赛20场.
