专题6三角函数的求值(教师版)

专题6 三角函数的求值

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．若02且同时满足cossin和tansin，那么角θ的取值范围是（ A ）

3335（A）(,) （B）(,) （C）(,) （D）(,)

2442442sin(x),1x02．函数f(x)，若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为

x1e,x0（ B ）

（A）1 （B）1,22 （C）22 （D）1,222

3. 在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos),B(sin,1),(0,的面积达最大值时， （ D ）

（A） （B）

]，则当△OAB

（C）cosA3 （D）

2

234．△ABC中，若tanBtanC5,则5．设sin2a,cos2b,0①

b1acos(BC)的值为 4)值的四个答案：

.

4,给出tan(；②

a1b；③

1ba2

；④

1ab.其中正确的是 ①④.

6．已知函数f(x)＝－3sinx＋sinxcosx． (Ⅰ) 求f(

256)的值； (Ⅱ) 设∈(0，)，f(

2512,cos2562)＝

14－32，求sin的值．

【专家解答】(Ⅰ) sinf(256)3sin2256cos625632

sin2560

(Ⅱ) f(x)16sin232cos2x131313sin2x，f()cossin 22222242313584sin110 解得sin1358

(0,)sin0sina

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★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.

【热点透析】

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍

★★★突破重难点

【范例1】设0,P＝sin2sincos. （1） 若t＝sincos,用含t的式子表示P; （2） 确定t的取值范围，并求出P的最大值.

解析（1）由t＝sincos,有t212sincos1sin2.

2 sin21t,P1t2sin(2tt2t 1.（2）t＝sincos12sin(24). 0,4434.

4)1.即t的取值范围是1t12)22.

12,2]内是减函数.

P(t)tt1(tP的最大值是

54,在[1,12]内是增函数，在[54【点晴】sincos,sincos间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”．

.

【文】已知2x0,sinxcosx15.

（I）求sinx－cosx的值；

xx2x2x3sin2sincoscos2222的值. （Ⅱ）求

tanxcotx解析：法1（Ⅰ）由sinxcosx即 2sinxcosx2425.15,平方得sin22x2sinxcosxcos49252x125,

(sinxcosx)12sinxcosx. 75.

2x0,sinx0,cosx0,sinxcosx0,故sinxcosx3sin2x2sinx（Ⅱ）

22tanxcotxcosxcos2x22sin2x2sinxsinx1cosxsinx

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sinxcoxs(2cxos12xsin)25(1)5108(2 )1251sinxcosx,①法二（Ⅰ）联立方程5

sin2cos2x1.② 1由①得sinxcosx,将其代入②，整理得25cos52x5cosx120,

3sinx,345 故sinxcosx7.

cosx或cosx.x0,5552cosx4.5

3sin2x2sinx（Ⅱ）

cosxsinx3443108(2cxosxsin)()(2 sinxcoxs )5555125【点晴】此题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.

51,tan,(0,),(0,2), 【范例2】已知sin()1322（1） 求sin,cos. 求cos.

22tanxcotxcosxcos2x22sin2x2sinxsinx1cosx

解析：(1)由tansin2120,(0,2),则

20,.

215,cos22225,sin2sin35.

2cos245.

coscos2sin5132(2)由sin()知cos()1213,

由sinsin()sin()coscossin. 在cos()1213时，sin5135533124330与(0,)矛盾，舍去. 135651246363可取.因此sin. 1356565在cos()1213时，sin1213517【点晴】在求值时，要注意用已知角来表示所求角，讲究拆角、配角技术。 【文】已知tan(),tan,且,(0,),求2的值.

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解：tan2()由tan1743,tan(2)tan2()1.

33知

56.

由tantan[()]2(,1333知0.

6.

2).234【点睛】如果要求解的角是由一些表达式给出的，则一是考虑所求解的角与已知条件中的角的关系，尽量将所求解的角用已知条件中的角表示出来；二是考虑求该角的某个三角函数值，具体哪个三角公式，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正切函数

（0，），正、值，选正切函数.已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数。若角范围是

2（－，）时，则一般选正（0，）时，一般选余弦函数，若是余弦函数均可，若角是

22弦函数。

角为.

(1) 求的取值范围；

(2) 求函数f()sin22sincos3cos2的最小值.

解析 （1）由题意知，ABBC|AB||BC|cos6, ①

11S|AB||BC|sin()|AB||BC|sin ②

22【范例3】已知ABC的面积S 满足3S3,且ABBC6,AB与BC的夹

由②①，得

S62又为AB与BC的夹角，[0,],[,].

1tan,即3tanS.由3S3,得33tan1.

（2）f()sin2sincos3cos

＝2sin2cos22[22sin(2224),

6,4].2344[712,34].

4,即4时，f()的最小值为3

【点睛】本题体现了三角函数与平面向量的灵活应用。

82mn,求cos()的值.

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【变式】已知向量m(cos,sin)和n(2sin,cos),(,2)且

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解析 法1：mn(cossin

mn(cossin22,cossin)

22)(cossin)422(cossin)

44cos(8254)21cos(4)72524)

由已知mn又cos(4，得cos(2 )2cos(528)1 cos(9cos(8828828222法2：mn(mn)m2mnnm2222222,2)1625

2)45)0cos(2n2282mn

(cossin)((2sin)cos)2[cos(2sin)

)

sincos]422(cossin)4[1cos(4)]8cos(228由已知mn2,cos(288255845，得cos(28288)452

8)0

9cos()

【点睛】解决此题的关键是mn的计算，有两种途径，其解法二的运算量较小，

由此得到的结果，找出与cos(28)的联系。

【范例4】设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f()，试确定满足f()=

12的a值，并对此时的a值求y的最大值

解析 由y=2(cosx－

a2)－

2

a4a222及cosx∈［－1，1］得

1 (a2)2a2a1 (2a2) f()＝214a (a2)∵f ()=∴1－4a=

1212,

a=

18［2,+∞)或－a22－2a－1=

12，解得a=－1(2,2)，

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此时，y=2(cosx+

12)2+

12，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5

【点晴】 此题三角函数与二次函数的综合应用

【变式】已知f（x）=2asin2x－22asinx+a+b的定义域是［0,求a、b的值.

解析 令sinx=t，∵x∈［0，

π2π2］，值域是［－5，1］,

］，∴t∈［0，1］，

22f（x）=g（t）=2at2－22at+a+b=2a（t－当a＞0时，则当a＜0时，则b5，）2+b.

ab1， 解之得a=6，b=－5. 解之得a=－6，b=1.

b1，ab5，【点睛】注意讨论的思想

★★★自我提升

1．若θ∈（0，2π]，则使sinθ4,23454327） （B）（

,）（C）（

,） （D）（,2）

42．已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈(－tan

2,)，则22的值是( B )

12（A） (B）－2 (C)

43 (D)

12或－2

3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x＞0)，则sinα(sinα+cotα)+cos2α的值是( C )

(A)

15 (B)

25 (C)

85 (D)

95

4．（理）2sin130sin100(11cos103tan370)＝_______2

1（文）sin220°+cos280°+3cos20°cos80°＝________4

55．已知(xcos1)的展开式中x2的系数与(x54)的展开式中x的系数相等，

43

则cos 22

6． 是正实数，设S{|f(x)cos[(x)]是奇函数}，若对每个实数a，

S(a,a1)的元素不超过2个，且有a使S(a,a1)含2个元素，则的取值

范围是 (,2]

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7. 已知0<α<β<90，且sinα，sinβ是方程x2(2cos400)xcos2400两个实数根，求sin(β-5α)的值。

解析 由韦达定理得sinα+sinβ=2cos400，sinαsinβ=cos2400-∴ sinβ-sinα=(sinsin)20

200

12=0的

12

2sin4000(sinsin)4sinsin0

又sinα+sinβ=2cos40∴

10sin(2cos402sin1(2cos40022sin40)sin852sin40)sin50

00

∵ 0<α<β< 90

00

∴

08505 ∴ sin(β-5α)=sin60=

32

【文】（1）已知8cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值； （2）已知

2sincossin3cos5，求3cos24sin2的值。

133解析 （1）∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0 同除以cos(α+β)cosα得tan(α+β)tanα=（2）∵

2sincossin3cos2tan1tan322

∴

22tan1tan35

 ∴ tanθ=2

2∴ 3cos24sin23(cossinsin)8sincos233tan8tan2cos1tan75

8．是否存在锐角α、β使得（1）223；（2）tan2tan23

同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由.

23解析 由2得23,tan(2tan)2tan1tan2tan3，

tantan22tan2tan33

3于是tan2,tan是一元二次方程x2(33)x2301,则90与0的两根，解得x11,x223. 若tantan22矛盾，不合；

223，tan1,30,45，故存在30,45满足条件.

1b(,sinA)C,AB，【文】角A、B、C是ΔABC的内角，向量a(2cosA,1)，

227且ab。

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（1）求sinA的值； （2）求cos2(4B2)sinA2cosA2的值。

71解析（1）∵向量a(2cosA,1),b(,sinA),且ab，

25∴sinAcosA75 ①

12253545又sin2Acos2A1 ② 由①②得sin2AsinA又C2,AB,则A0 得sinAA或sinA2

354 ∴sin2， 故sinA

（2）∵A+B=∴cos2(4B22，

A2cosA2cos2)sinA2sinA2cosA21cosA212sinA65

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