由数列的递推公式求通项公式
一、递推数列的概念
递推公式：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
递推数列：由递推公式和初始值确定的数列。
二、求递推数列的通项公式常见的方法
构造新数列最常见的是构造等差或等比数列来解决问题。主要有：待定系数法、累加法、累乘法、特征方程法、换元等。
三、根据递推关系的不同分为以下几种类型
1.求递推式如an+1=pan+q（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解。
【例1】已知数列{an}满足a1=1，且an+1=3an+2，求an。
解：设 ，则
为等比数列，
2.求形如an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n-1，得到n-1个式子累加求得通项。
【例2】已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有
，求an。
解：由已知得
以上式子累加，利用 得
3.求形如的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n-1，得到n-1个式子累乘求得通项。
【例3】已知数列{an}中，a1=?蚧?虔，前n项和sn与an的关系是sn=n(2n-1)an，求通项公式an。
解：由sn=n(2n-1)an得 ，两式相减得：
将上面n 1个等式相乘得：
4.求形如 （其中p、q均为常数， ）（或 ，其中p、q、r均为常数）的通项。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得：，引入辅助数列{bn}（其中 ），得：
，再用待定系数法解决。
【例4】已知数列{an}中， ，求an。
解：在 两边乘以2n+1得： 。
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。
【例5】已知数列{an}中，，求数列{an}的通项公式。
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
【例6】已知数列{an}满足： ，求数列{an}的通项公式。
解（特征根法）对于由递推公式
给出的数列{an}，方程，叫做数列{an}的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1≠x2时，数列{an}的通项为 ，其中a、b由 决定（即把
和n=1,2，代入，得到关于a、b的方程组）；当x1=x2时，数列{an}的通项为，其中a，b由
决定（即把和n=1,2，代入 ，得到关于a、b的方程组）。
【例7】数列{an}：
解：此特征方程是：
又由 ，于是
除上述外，还有“归纳—猜想—证明”法、换元法等，在此不再赘述。
