连续展成磨削小半径齿顶圆角的多刀逼近法

径齿顶圆角时（通常在lmm以下），蜗杆砂轮将具有较大曲率从而难以修整，针对该问题文中提多

刀逼近方法，采用小曲率砂轮多次磨削，逼近设计圆角。首先建立齿顶圆角的数学模型，并基于齿 轮啮合原理对蜗杆砂轮廓形进行求解,其次计算每刀加工的砂轮偏移量及砂轮偏移后得到的齿面,

最后进行仿真验证，说明方法可行且逼近精度较高。该方法解决了磨削小半径齿顶圆角蜗杆砂轮

难以修整的问题，同时对连续展成磨削摆线齿轮、圆弧齿轮等具有参考价值。关键词:连续展成磨;蜗杆砂轮;齿轮;齿顶倒圆;逼近加工中图分类号:TG616

文献标识码:ADOI: 10.19287/j. cnki. 1005-2402.2019.06.002Multi-cutting approaching method for pinion tip fillet with continuous generating grindingREN Weixian, LI Guolong, LI Biao（State Key Lab of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, CHN）Abstract: Tip fillet can reduce the stress concentration and improve the service lives of gears. Continuous

generating grinding is a rounding technology with high efficiency and precision. However, the worm for pinion tip fillet, which is less than 5mm, is hard to dress with large curvature. Multi - cutting approac­hing method was put fbrword concerning this issue. The fillet was approached continuously by the worm

with small curvature. The mathematical model of tip fillet was built firsdy, and the worm profile was cal­

culated based on gear meshing theory. Then the offsets of worm and the gear surface in each processes were solved. Finally, this method was proven viable and precise by the simulation results. The multi-

cutting approaching method solve the problem that the worm for pinion tip fillet can't be dressed, and

have reference value for continuous generating grinding of cycloid gear and arc gear.Keywords:continuous generating grinding； worm； gear； tip fillet； approaching method1齿顶圆角加工大量理论和实践表明，齿轮的边缘棱角在热处理 时会产生应力集中,影响齿轮的力学性能，导致齿面磨 损⑴，并且这类边缘棱角易引起齿面磕碰，啮合时产

从而完全消除齿顶尖点,提高了齿轮综合性能。生噪声并损伤齿面，降低齿轮寿命⑵。因而在齿轮制

造中，对齿轮进行倒圆处理已成为一道重要工序。齿 轮倒圆分为齿根倒圆、齿廓倒圆与齿顶倒圆，如图10齿顶倒缘是齿顶修缘的一种。常规齿顶修缘是通

过修缘滚刀或插齿刀在齿顶处加工出变压力角的渐开

线，这将在与齿顶圆连接部分产生新的尖点，如图2。 而齿顶倒圆则采用圆弧曲线光滑连接齿廓与齿顶圆，*重庆市科技计划项目(cstc2017zdcy-zdzxX0005 )・34・2019年第6期Hui Ma等⑶通过分析齿轮-转子系统的有限元模

型,表明齿顶倒圆在一定转速内会降低系统的振动响 应，使啮合更平稳;Sankar等⑷针对风电齿轮的失效 问题，提出齿顶倒圆可以有效减少风力涡轮机的齿轮

故障，提高系统可靠性;Markovi 6等⑸通过有限元分析 表明齿顶倒圆缓和了齿轮的应力集中。齿顶倒圆的

诸多优点使得其在高速重载高可靠性传动要求的场合

如航空领域等，被广泛应用国。现阶段齿顶倒圆的加工工艺有手工打磨、滚齿、插

齿、磨齿等,其中基于连续展成原理的蜗杆砂轮磨作为 高效高精的加工手段⑺，在加工较大半径的齿顶圆角

时被广泛应用，然而当齿顶圆角半径较小时，对应的蜗 杆砂轮廓形将具有较大曲率，易使球头滚轮干涉,导致

砂轮难以甚至无法进行修整。考虑球头滚轮的规格尺

寸剧，目前对半径小于1 mm的齿顶圆角仍靠手工打 磨,效率低，质量差。迫切需要解决小半径齿顶圆角的

自动化加工。为此,本文提出磨削小半径齿顶圆角多刀逼近方

法:采用磨削大半径齿顶圆角的蜗杆砂轮进行单边磨

削,得到与小半径齿顶圆角相切的曲面，然后移动砂轮 进行下一刀加工得到另一相切曲面，最终由多个相切

曲面包络出小半径齿顶圆角。该方法首先需要计算加 工大半径齿顶圆角的蜗杆砂轮廓形,其次求解砂轮每 刀加工的偏移量。图3齿顶园角的数学模型主■: 1»■■逮技术|Precision Manufacturing Technology *2蜗杆砂轮廓形求解2.1齿顶圆角建模齿顶圆角为空间螺旋曲面，如图3所示，在齿轮坐

标系S.-X.Y.Z.中，齿顶圆角儿①可看做端面廓形弧

沿Z轴齿宽方向做螺旋运动形成,即：cos (hk) sin (hk) 0 0仟-si譽)。嘗)0 0 de[o,H]0 0 0 1(1)

式中：C円表示齿顶圆角的端面廓形弧AB的参数方

程山为方程系数;H为齿轮齿宽;K为斜齿轮的螺旋

参数片吨/% ；伏表示齿轮工作节圆处螺旅角;尽, 为齿轮的节圆半径。在平面乙-01-岭中，弧佔如图4,点表 示弧的起点、终点及圆心。根据图中向量关

系，有：ro=r+C=r+Ce

(2)其中点A与点B分别位于齿廓渐开线与齿顶圆 上，故/■，与儿可以用渐开线参数方程与圆参数方程 表示：sin%!COS%!r,=Rb

cosx1+%丄1sinx.1cos%2q (3)re=Ra |_sin%.2式(3)中:心表示渐开线基圆半径;亿表示渐开线齿顶 圆半径;衍、%2为方程参数。齿顶圆角为螺旋渐开面与

齿顶圆面的光滑过渡曲面，则A点为圆弧与渐开线的

切点\"点为圆弧与齿顶圆的切点，即C,、C°分别沿渐

35圭题：精密SM造技术Precision Manufacturing Technology开线与圆的法线方向，且矢量模长均为齿顶圆角半径, 故可表示为:N

診C1COS%1]Cos%i -Rbxlsinxl ] TG =R 颈VN2 [~Racosx2 -Rasinx2]T

⑷Ce=RW=R Ra将式(3) (4)代入式(2)并求解方程组，解出% 1、兀2代入式(3)得到点4、点〃的坐标,代入式(2),得到圆心0•坐标。由圆心坐标及圆角半径即可确定弧4〃的

参数方程C円，并写成齐次坐标式：RcosO+Rbsinxl + (R-Rbxi) cos^TC円二RsinO+Rbcosx1 + (Rbxl-R) sinxr,0 W [ TT-X1 ,%2]01⑸

式中：0为方程参数；仏。』。)表示齿顶圆角的圆心坐 标。将式(5)代入式(1)即可得到齿顶圆角关于参数

0与仇的位置矢量/)：Rcos ( 0~hk ) +%o cos (hk) +y0 sin (hk)Rsin(O-hk) -xQsin(hk) +x0cos( hk)h

10 w [ Z7T-%1 ,%2] ,h e [0,H](6)2.2砂轮廓形求解蜗杆砂轮齿顶倒圆属连续展成磨削工艺,加工运

动包括:齿轮绕自身轴线的转动,砂轮绕自身轴线的转

动，以及砂轮沿齿轮轴线的移动。其中:工件齿轮的运 动为从动，砂轮的转动与移动是主动，通过电子齿轮箱

的跟随控制功能,实现齿轮廓形的加工，砂轮的轴向进

给运动则形成整个齿面⑼，故砂轮廓形求解时无需考

虑砂轮沿齿轮轴线的移动，可将蜗杆砂轮看做齿条刀 具，建立坐标系如图5。图5蜗杆砂轮齿顶倒圆的加工坐标系• 36 •2019年第6期其中Si-X^iZ]为跟随齿轮运动的齿轮坐标系， s5-x5 y5z5为跟随砂轮运动的砂轮坐标系,s2-x2 y2z2、

s3-x3y3z3与s4-x4y4z4为固定的中间坐标系。被加

工齿轮绕自身轴线做角速度为气的转动,转动角度为

血时，齿轮坐标系S1-X1Y1Z1与固定坐标系S2-X2Y2Z2 重合;将蜗杆砂轮看做齿条刀具时,砂轮的转动可看做

齿条刀具沿力方向做速度为匕的移动，移动距离为

厶时，砂轮坐标系S5与固定坐标系S4重合。Rp与Bg分 别表示齿轮节圆半径与螺旋角。当齿轮与砂轮旋向相反时，方向t-t方向与速度

匕可通过图6确定，齿轮与蜗杆砂轮啮合时，两个工作

圆柱切于P点,方向即过P点的两个螺旋线公切 线方向，仪与匕分别表示齿轮与砂轮在P点处的线 速度，叫与%分别表示齿轮与砂轮的角速度,2表

示齿轮螺旋角，入m表示齿条相对齿轮的滑动速度Vr_g 沿螺旋线方向。根据图中的速度多边形,易得：K 二 SgRp cosQg 二 3用)/sin入 w ( 7 )式(7)中:尽，与町)分别表示齿轮与砂轮的分度圆半 径。由匕与气的速度关系，可以求得图5中的厶为：Lr=$gRpCosBg

(8)故根据各坐标系间的坐标变换矩阵,有：陆1 二M54M43M32M21 =cosQgCosQg - sinQgCosQg -sinj8g (j)gRpcosPg sinQg

cosQg 0 -Rpcos0gSir^8g -sin(f)gSin/3g

cos/3g

0_ 0 0 0

1(9)

式中:M21 ,陆2 ,M43 ,M54 ,陆1分别表示坐标系Si到S2, S2到S3 *3到S4 $到S5 ,S]到S5的坐标变换矩阵，则齿 轮廓形与砂轮廓形的关系为：r^w) =M5lr[g)

(10)占)表示在S5坐标系下的砂轮廓形，卅)表示在S]201 9年第6期坐标系下的齿轮廓形。将啮合方程［⑹表示在S5坐标 系下：处g)・卩严)二0

(11)沖)表示S5坐标系下齿轮的法向量，卩严)表示S5 坐标系下齿轮相对假想齿条刀具的相对速度。於刃可 通过坐标变换得到：COS0gCOS0g

_sinQgCos0g 於亠_sin/3g0sinlcosQg00cosQgSin/Sg_sinQgSinj8gcos0g0n{8)_ 0001(12)表示S5坐标系下砂轮的法向量皿円表示Si

坐标系下齿轮的法向量，有：Rcos(O-hk)1 de dhRsin(3-hk) (13)-Rk ( y0 cos&+%0 sin0 )相对速度必刃)为：匕gC 二匕g)_yy)(14)厅)是S5坐标系下齿轮的运动速度,叩是S5坐标

系下将砂轮看做齿条刀具的运动速度,S5坐标系固连 于齿条刀具，则吟)二0,故：()AM.&当 口一(g)-

_cos0gsin(/)g 一 COS0gCOS(/)g

0RpCosQgcos%_sinQg co00r_sinj8gSin(/)g_sinj8gCos0g

00r(g)i

00

0

0(15)将式(6)代入式(15),得到必刃)的参数方程，并将 式(12)、(15)代入啮合方程(11),求解参数％。将求 出的％与式(6)的屮)代入式(9)、( 10),最终求得产

形齿条齿面厂严。该产形齿条齿面是由砂轮法平面沿

齿轮轴线移动得到，其端面投影即砂轮的法平面廓 形［⑴。采用Matlab绘制产形齿条齿面及法平面廓形 如图7。至题：緒密制造技术Precision Manufacturing Technology图7计算数据为:齿轮齿数20,端面模数5 mm, 端面压力角20。,螺旋角20。,齿高5 mm,齿顶圆角半

径2 mm＞轮头数1,节圆半径50 nun,求得砂轮的法

平面廓形后做螺旋变换，同时考虑齿顶间隙即最终得 到用于齿顶倒圆的蜗杆砂轮，如图8O3多刀逼近法的砂轮偏移量求解采用上述计算得到的蜗杆砂轮进行单刀磨削,加

工的齿顶圆角半径为设计尺寸。通过对该砂轮进行多 次移动变换，加工出一系列与齿顶圆角相切的曲面，可

逼近比设计尺寸小的齿顶圆角。因砂轮与齿轮的相对 位置会影响二者的中心距,使啮合关系发生变化,若平

移前的砂轮法面廓形为r(w)，平移前的齿轮端面廓形

为r(g)，平移向量为人厶则平移后的蜗杆砂轮廓形为

r(w)+A£,而其对应的齿轮廓形并不能简单认为是卅刃 +4厶。该方法的关键是确定每刀加工的砂轮偏移量。3.1砂轮每刀偏移量求解图9砂轮偏移向量图9中,Sg-XgYgZg为齿轮坐标系,Sw-XwYwZw为

蜗杆砂轮在啮合点处的法平面坐标系,蜗杆砂轮的平 移向量AL沿X、F、Z坐标轴的分量分别为・37・圭题：精密制造技术Precision Manufacturing Technology△z,记r5（w）= ,zy）]，则平移变换后蜗杆砂轮的廓形於呦可以表示为：r^nw） = [X^+AX Y^+AY Z^+AZ]7 （16）

逼近刀数为D时,可将式（5）中圆角端面廓形的 D-1等分点作为每刀加工的逼近切点：RcosBj +x0一 COS 仇Asin仇+y°,71；=-sin^-（17）_ 0 __ 0 _式中:打是第亍刀加工的切点在齿轮坐标系S]中的位

置坐标;材表示切点法向量;仇为自变量。乞为:I— ]

D—i仇二^7^（6一光1）+^7]^2,，丘[1,D] （18）采用上文求解啮合方程的方法可得到切点在砂轮 坐标系S5中的共辄点人，及切点共辘点的法向量於。

砂轮的法向量与齿轮车S5坐标系下的法向量 吆刃相同,通过砂轮法向量与切点共辄点法向量共线 时的坐标差求解偏移向量汕,，而实际计算中因砂轮

廓形为离散点形式,无法获得ALt的解析解，可采用数

值方法求解肛出勺近似值。算法流程图见图10o图10偏移向量的算法流程图图10中,a为任意实数,误差限8与齿廓离散点

数N有关。记卞二（X严，皆））,普）二（先严，疔））,最 终机床坐标系下各个坐标轴的偏移量[人胆同上乙⑺，

△zf）]表示为' AX[m） =K-w）-y-w）必茫）=_（X严-汨））亦伏,沱[1Q]（19）3.2每刀加工的逼近曲面求解将啮合方程表示在S]坐标系下：・38・201 9年第6期〃严）.V宫）二0 （20）将上述得到的砂轮平移向量虫厶代入式（16）,求 得第i次加工时变换后的砂轮廓形於归。变换后的砂 轮法向量仍然为。根据图5的坐标变换关系:cosQcos0g sin（/） cos（/>siry8g疔）=一sinQcosQg cos

（21）_sin/3g0COS0g _y宫）二COS0CO 傀sin（/>cos（/）sir^8gRp （ sin（/）^（/）cos（/）cos2^g ）一 sinQco耗cost/）一sinQsi确gRp （ cosc/）+（/）sin（/）cos2^g ）-si呱0co%哲,sin（羊& ）/20001/d£）厂严）（22）将式（21）和（22）代入式（20）求解得到变换后的

啮合转角3，根据式（10）的坐标变换关系,最终得到

变换后的齿面¥）o采用MATLAB绘制厂浮）如图11。

计算以加工左齿面为例採用加工齿顶圆角半径2 mm 的倒圆蜗杆砂轮以5刀偏移逼近1 mm的齿顶圆角。

由图11中结果可以看出,多个逼近曲面最终包络形成 齿顶圆角。选取齿轮端面廓形分析逼近误差，绘制如图12o

图中可以看出每刀加工的端面廓形均与齿顶圆角相

切，逼近误差出现在相邻两廓形的交点处，计算交点到

圆角的最短距离为0. 003 17 rrnn,可见五刀加工的逼

近效果已较为精确。201 9年第6期4 Bool运算加工仿真仿真基于SolidWorks的Bool运算功能〔⑵，在齿轮 的三维模型中删除齿轮与砂轮的公共部分。采用加工

半径2mm齿顶圆角的蜗杆砂轮5刀逼近半径1 mm的 齿顶圆角,具体数据如表1。表1齿轮与蜗杆砂轮的基本参数齿轮蜗杆砂轮齿数20头数1端面模数5 mm分度圆半径50 mm端面压力角20°导程角2. 693 0°螺旋角20左旋。右旋仿真首先验证该蜗杆砂轮单刀加工得到的齿顶圆 角半径是2 mm,其次验证多刀逼近加工得到的圆角半

径是1 mmo4.1单刀加工仿真在SolidWorks中建立仿真模型，如图13。齿轮每 转动0.2。进行一次Bool运算，按照流程图14示加工

齿轮的3个齿，最终加工结果如图15o曲线拟合齿轮的上端面廓形，并与半径2 mm的

圆弧曲线比较，结果基本吻合。说明砂轮廓形计算正

确,采用计算得到的蜗杆砂轮单刀加工将得到半径

2 mm的齿顶圆角。4.2多刀逼近加工仿真每刀加工的砂轮偏移量计算如表2。多刀逼近加 工采用单边磨削，仿真以加工左齿面为例，同时为避免

另一齿面干涉，需要增大蜗杆砂轮的齿槽宽。仿真的 程序流程图如图16,最终仿真结果如图17o主题：精密制造技术Precision Manufacturing Technology开始初始化片0齿轮转动0.2。砂轮转动4。复制砂轮实体齿轮实体中删 除砂轮实体结束图14单刀加工仿真流程图表2砂轮每刀偏移量第一刀第二刀第三刀第四刀第五刀△X严）0. 120 00. 035 10. 109 90. 291 40. 490 40. 373 50. 242 10. 114 80. 029 60. 000 0△Zp)-0. 043 60. 012 70. 040 0

0. 106 00. 178 5图17虚线为半径1 mm的理论圆角廓形。由仿真结 果可以看出每一刀加工的端面廓形均与理论廓形相切且 总体呈现逐渐逼近趋势，第五刀加工结果的端面廓形与 理论圆角廓形已基本吻合。仿真表明多刀逼近的齿顶

倒圆方法可行，且五刀加工逼近的结果已较为精确。5结语本文针对小半径齿顶圆角的蜗杆砂轮难以修整的

问题,提出多刀逼近加工法,对蜗杆砂轮廓形与每刀逼

近的砂轮偏移量进行求解,并通过仿真验证该方法的

・39・圭题：精密制造技术Precision Manufacturing Technology201 9年第6期正确性。一方面，多刀逼近法解决了小半径齿顶圆角 参考文献[1] 朱有利,王燕礼，边飞龙,等•渐开线直齿圆柱齿轮接触疲劳失效成

(通常指1 mm以下)的加工难题;另一方面，为摆线齿

轮、圆弧齿轮在蜗杆砂轮磨削时,因砂轮曲率半径过小 难以修整的问题提供借鉴作用。因再分析[J].摩擦学学报,2014,34(6) ：722-72&[2] 张俊,卞世元，鲁庆，等•准静态工况下渐开线宜齿轮齿面磨损建模

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究方向为精密制齿技术装备。(编辑孙德茂)(收稿日期：2019-01-30)文章编号：190613如果您想发表对本文的看法，请将文章编号填入读者竄见调查表中的相应位置。・知识窗・声学部件(acoustic element)超声波加工机床的重要部件。由换能器、振幅扩大棒和工具组成。它的作用是把高频电能转变为

机械能，使工具作一定频率和一定振幅的电高频连续振动，促使液体中的磨粒不断冲击工件，并使液直体产生空化作用，以达到加 工的目的。声频钻削(sonic drilling)用连接在-个声频机电转换器上，并以声频往复振动的工具来推动磨料浆液以钻削工件或使其成形的

加工方法。声滤波器(acoustic filter)用一些小管和共振腔作为抗性元件相并联或串联而组成的声学器件。用在声波传输系统中以滤去某 些频率成分。声波的衰减(attenuation of sound wave)声波在均匀介质中传播时,其振幅、声强等随声源的距高增大而减弱，这种现象称声波的

衰减。声波衰减的主要原因是由于介质对声波的吸收和介质中的粒子(流体悬浮粒子或固体的颗粒结构)对声波的散射。• 40 •