2017-2018学年太原市北师大八年级下期中数学试卷(有答案)-精品

数学试卷

一、选择题（本大题含

10个小题，每小题

3分，共30分）在下列每小题给出的四个选项中，只有

一个符合要求，请选出并填入下表相应位置1．已知a，b均为实数，且

A．a＜b

a﹣1＞b﹣1，下列不等式中一定成立的是（

C．﹣a＞﹣b

）

D．a﹣2＞b﹣2

B．3a＜3b

2．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉

和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（

）

A．B．

C．D．

3．如图是两个关于

集是（

）

x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解

A．x＞﹣1

4．在平面直角坐标系中，

B．x＞2 C．x≥2 D．﹣1＜x≤2

△ABC的三个顶点坐标分别为（1，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．将A

△ABC平移得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为（﹣2，3），则△ABC平移的方式可以为（

）

5个单位3个单位5个单位3个单位

时，去分母后结果正确的为（

）

A．向左3个单位，向上B．向左5个单位，向上C．向右3个单位，向下D．向右5个单位，向下5．解不等式

A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3）C．2x+4＞6﹣3x+3

B．2x+4＞6﹣3x﹣9 D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥

AB．图中的等腰三角形共有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝9，点D在边AB上，且BD＝5将线段BD沿着BC的方向平移

得到线段EF，若平移的距离为

6时点F恰好落在AC边上，则△CEF的周长为（

）

A．26 B．20 C．15

1.8千米．已知他步行的平均速度为

D．13

90米/分，跑步的平均速

8．小明要从甲地到乙地，两地相距

度为210米/分，若他要在不超过设他需要跑步

15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？

）

B．90x+210（15﹣x）≤1800 D．90x+210（15﹣x）≤1.8

x分钟，则列出的不等式为（

A．210x+90（15﹣x）≥1800 C．210x+90（15﹣x）≥1.8 9．如图，直线

y＝ax+b与x轴交于点A（7，0），与直线y＝kx交于点B（2，4），则不等式

）

kx

≤ax+b的解集为（

A．x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤2 D．2≤x≤6

10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，

DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）

A．AD＝BD二、填空题（本大题含

B．AC∥BD5个小题，每小题

C．DF＝EFD．∠CBD＝∠E

2分，共10分）把答案写在题中横线上

55”表示该桥梁载重后总质量超过

55t的车辆

11．太原某座桥桥头的限重标志如图，其中的“

通过桥梁．设一辆自重系为

10t的卡车，其载重的质量为xt，若它要通过此座桥，则x应满足的关

（用含x的不等式表示）．

12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD＝30°，则∠CAE的度数为

．

13．不等式组的整数解为．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平

分AB．若AD＝2，则CD的长为

．

15．如图，△ABC是边长为24的等边三角形，△CDE是等腰三角形，其中DC＝DE＝10，∠CDE＝120°，

点E在BC边上，点F是BE的中点，连接

AD、DF、AF，则AF的长为．

三、解答题（本大题含8个小题，共60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

16．（5分）解不等式：2x+1≤3（3﹣x）

17．（6分）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．

18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△

4），C（4，﹣1）．

三个顶点的坐标分别为：ABCA（1，﹣4），B（5，﹣

（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，

B1的坐标分别为；

（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2．

19．（6分）近年来，随着我国国民经济的飞速发展，我国物流业的市场需求持续扩大，某物流公

司承接A、B两种货物的运输业务，已知元/吨．该物流公司预计

A种货物运费单价为80元/吨，B种货物运费单价为50

4月份运输这两种货物共300吨，且当月运送这两种货物收入的运费总

额不低于19800元，求该物流公司4月份至少要承接运输A种货物多少吨？

CB至点E，延长BC至点F，

20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长

使BE＝CF，连接AE、AF．求证：AD平分∠EAF．

21．（9分）某超市店庆期间开展了促销活动，出售A，B两种商品，A种商品的标价为60元/件，

B种商品的标价为40元/件，活动方案有如下两种，顾客购买商品时只能选择其中的一种方案：

AB

方案一方案二

按标价的“七折”优惠若所购商品达到或超过

按标价的“八折”优惠

35件（不同商品可累计），均按标价的“七五折”优惠

若某单位购买A种商品x件（x＞15），购买B种商品的件数比A种商品件数多10件，求该单位选

择哪种方案才能获得更多优惠？

22．（10分）如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点

B为射线AP上的一点且AB＝10，过点

B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC＝6．

（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择

题

A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△

平移后点B的对应点B′的位置如图

ABC，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．若

2，连接DB′．

①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；②若图2中的DB′∥A′C′，则平移的距离为

．

B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为C′．

①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点

A′、B′、

B，请在图3中画出此时的△A′

B′C′，并在图中标注相应的字母；

②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点

B，此时平移的距离为

．

23．（12分）综合与探究问题情境：如图

1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，

α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．

易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度（1）变式探究：如图成立，请说明理由；（2）拓展延伸：若图

2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不

1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：

题

从A，B两题中任选一题作答我选择

＝10，求BC的长；A．①在图1中，若AB

②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，

BD，CD之间的等量关系；

B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；

②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点

D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究

线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．

2017-2018学年山西省太原市八年级（下）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在下列每小题给出的四个选项中，只有

一个符合要求，请选出并填入下表相应位置1．已知a，b均为实数，且

A．a＜b

a﹣1＞b﹣1，下列不等式中一定成立的是（

C．﹣a＞﹣b

）

D．a﹣2＞b﹣2

B．3a＜3b

【分析】根据不等式的性质进行判断．【解答】解：因为可得a＞b，

所以3a＞3b，﹣a＜﹣b，a﹣2＞b﹣2，故选：D．

【点评】考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

2．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉

和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（

）

0，而且必须先确定这个数是

a，b均为实数，且a﹣1＞b﹣1，

A．B．

C．D．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转重合．

3．如图是两个关于

180度后两部分

x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解

集是（）

A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x≥2 D．﹣1＜x≤2

【分析】找出两个不等式解集的方法部分确定出不等式组的解集即可．【解答】解：根据数轴得：不等式组的解集为故选：C．

【点评】此题考查了在数轴表示不等式的解集，弄清不等式组取解集的方法是解本题的关键．4．在平面直角坐标系中，

△ABC的三个顶点坐标分别为

（1，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．将A

x≥2，

△ABC平移得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为（﹣2，3），则△ABC平移的方式可以为（

）

5个单位3个单位5个单位3个单位

3，纵坐标+5，利用平移变换中点的坐标的变化规

A．向左3个单位，向上B．向左5个单位，向上C．向右3个单位，向下D．向右5个单位，向下【分析】根据律即可得．【解答】解：因为点

A点坐标的变化规律可得横坐标﹣

A（1，﹣2）的对应点A1的坐标为（﹣2，3），即（1﹣3，﹣2+5），

3个单位，向上

5个单位，

所以△ABC平移的方式为：向左故选：A．

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．5．解不等式

时，去分母后结果正确的为（

）

A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3）C．2x+4＞6﹣3x+3

【分析】利用不等式的性质把不等式两边乘以【解答】解：去分母得故选：D．

B．2x+4＞6﹣3x﹣9 D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）6可去分母．

2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）．

【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边

AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥

AB．图中的等腰三角形共有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【分析】已知条件，根据三角形内角和等于等腰三角形的判定进行判断即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，

∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵DE∥AB，

∴∠EDB＝∠ABD＝36°，∴∠EDC＝72°﹣36°＝36°，∴∠DEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，

180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用

∴∠A＝∠ABD，∠DBE＝∠BDE，∠DEC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠ABC＝∠C，∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共故选：C．

5个，

【点评】此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝9，点D在边AB上，且BD＝5将线段BD沿着BC的方向平移

得到线段EF，若平移的距离为

6时点F恰好落在AC边上，则△CEF的周长为（

）

A．26 B．20 C．15 D．13

【分析】直接利用平移的性质得出【解答】解：∵将线段∴EF＝DB＝5，BE＝6，∵AB＝AC，BC＝9，∴∠B＝∠C，EC＝3，∴∠B＝∠FEC，∴CF＝EF＝5，

∴△EBF的周长为：5+5+3＝13．故选：D．

EF＝DB＝5，进而得出CF＝EF＝5，进而求出答案．

EF，

BD沿着BC的方向平移得到线段

【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出8．小明要从甲地到乙地，两地相距

度为210米/分，若他要在不超过设他需要跑步

CF的长是解题关键．

90米/分，跑步的平均速

1.8千米．已知他步行的平均速度为

15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？

）

B．90x+210（15﹣x）≤1800 D．90x+210（15﹣x）≤1.8

x分钟，则列出的不等式为（

A．210x+90（15﹣x）≥1800 C．210x+90（15﹣x）≥1.8

【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得210x+90（15﹣x）≥1800，故选：A．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．9．如图，直线

（2，4），则不等式y＝ax+b与x轴交于点A（7，0），与直线y＝kx交于点B

）

kx

≤ax+b的解集为（

A．x≤2 【分析】写出直线【解答】解：∵直线

B．x≥2 C．0＜x≤2 D．2≤x≤6

y＝kx在直线y＝ax+b下方部分的x的取值范围即可．y＝ax+b与直线y＝kx交于点B（2，4），

∴不等式kx≤ax+b的解集为x≤2．故选：A．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，

y

y＝kx+b

DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）

A．AD＝BD

【分析】由旋转的性质知∠

B．AC∥BDC．DF＝EFD．∠CBD＝∠E

＝∠CAE＝60°、AB＝AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三BAD

角形、∠C＝∠E，证AC∥BD得∠CBD＝∠C，从而得出∠CBD＝∠E．【解答】解：由旋转知∠

BAD＝∠CAE＝60°、AB＝AD，△ABC≌△ADE，

CAD＝60°，

∴∠C＝∠E，△ABD是等边三角形，∠∴∠D＝∠CAD＝60°、AD＝BD，∴AC∥BD，∴∠CBD＝∠C，∴∠CBD＝∠E，则A、B、D均正确，故选：C．

【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．

二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上

55”表示该桥梁载重后总质量超过

55t的车辆

11．太原某座桥桥头的限重标志如图，其中的“

通过桥梁．设一辆自重系为

10t的卡车，其载重的质量为xt，若它要通过此座桥，则x应满足的关

10+x≤55 （用含x的不等式表示）．

【分析】根据题意列出不等式解答即可．【解答】解：设一辆自重故答案为：10+x≤55

【点评】此题考查一元一次不等式问题，关键是根据题意列出不等式解答．

12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD＝30°，则∠CAE的度数为

30°

．

10t的卡车，其载重的质量为

xt，根据题意可得：10+x≤55，

【分析】根据旋转的性质得∠【解答】解：∵△∴∠DAC＝60°，

DAC＝60°，然后计算∠DAC﹣∠EAD即可．

ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，

∴∠CAE＝∠DAC﹣∠EAD＝60°﹣30°＝30°．故答案为30°．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

13．不等式组的整数解为3，4 ．

【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．

【解答】解：，

由不等式①，得

x＞，

由不等式②，得

x≤4，

故原不等式组的解集是

，

故不等式组的整数解为3，4，

故答案为：3，4．

【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解不等式的方法．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平

分AB．若AD＝2，则CD的长为

1 ．

【分析】根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AD＝2，DE垂直平分AB．∴DE＝1，∠DBE＝∠A＝30°，∠CBA＝60°，∴BD平分∠CBE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝1，故答案为：1 【点评】此题考查含角形的性质解答．

15．如图，△ABC是边长为24的等边三角形，△CDE是等腰三角形，其中DC＝DE＝10，∠CDE＝120°，

点E在BC边上，点F是BE的中点，连接

、DF、AF，则AF的长为AD

13

．

30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含

30°的直角三

【分析】作辅助线，构建直角三角形，先求的长．【解答】解：过∵DC＝DE＝10，

CE的长，从而得FM和AM的长，根据勾股定理可得AF

D作DH⊥BC于H，

∴EH＝HC，∵∠CDE＝120°，∴∠DCH＝30°，∴CH＝EH＝5∴CE＝10

，

，

，

∴BE＝BC﹣CE＝24﹣10∵F是BE的中点，∴BF＝

＝12﹣5

，

过A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM＝

BC＝12，AM＝12，

）＝5＝

，

＝

＝13

．

∴FM＝BM﹣BF＝12﹣（12﹣5由勾股定理得：AF＝故答案为：13

．

【点评】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理及含熟练掌握性质是关键，本题注意作辅助线，构建直角三角形解决问题．三、解答题（本大题含

8个小题，共

30度角的直角三角形的性质，

60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

16．（5分）解不等式：2x+1≤3（3﹣x）【分析】不等式去括号，移项合并，将【解答】解：2x+1≤3（3﹣x），去括号得：2x+1≤9﹣3x，移项合并得：5x≤8，系数化为1得：x≤

．

x系数化为1，即可求出解集．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．

17．（6分）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示确定不等式组的解集．

【解答】解：

解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤15，所以不等式组的解集为：﹣其解集在数轴上表示为：

2＜x≤15，

．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△

4），C（4，﹣1）．

（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，

ABC三个顶点的坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣

B1的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），；

（2）在如图的坐标系中画出△

A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2．

【分析】（1）根据平移的性质画出图形，进而得出坐标即可；（2）根据关于原点

O成中心对称的性质画出图形即可．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：

A1，B1的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），

故答案为：（﹣1，2），（3，2），（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．

【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换和平移变换，熟练掌握轴对称变换、平移变换的定义是解题的关键．

19．（6分）近年来，随着我国国民经济的飞速发展，我国物流业的市场需求持续扩大，某物流公

司承接A、B两种货物的运输业务，已知元/吨．该物流公司预计

A种货物运费单价为80元/吨，B种货物运费单价为50

4月份运输这两种货物共300吨，且当月运送这两种货物收入的运费总

额不低于19800元，求该物流公司【分析】根据题意

4月份至少要承接运输A种货物多少吨？

4月份的运费，得出不等式，解方程求解即可

4月份要承接运输

【解答】解：设该物流公司

A种货物x吨，则承接运输A种货物（300﹣x）吨，

根据题意得：80x+50（300﹣x）≥19800，

x≥160，

答：该物流公司

4月份至少要承接运输

A种货物160吨．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式是解题关键．

20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长

使BE＝CF，连接AE、AF．求证：AD平分∠EAF．

CB至点E，延长BC至点F，

【分析】根据等腰三角形的性质得出性质证明即可．【解答】证明：∵在△

＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，再利用全等三角形的判定和BD

ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD，∴∠ABE＝∠ACF，

在△ABE与△ACF中，

∴△ABE≌△ACF，∴∠BAE＝∠CAF，

∴∠BAE+∠BAD＝∠CAF+∠CAD，即∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF．

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出．AD平分∠BAC

21．（9分）某超市店庆期间开展了促销活动，出售

BD＝DC，AD⊥BC，

A，B两种商品，A种商品的标价为60元/件，

B种商品的标价为40元/件，活动方案有如下两种，顾客购买商品时只能选择其中的一种方案：

A

方案一方案二

按标价的“七折”优惠若所购商品达到或超过

B

按标价的“八折”优惠

35件（不同商品可累计），均按标价的“七五折”优惠

若某单位购买

A种商品x件（x＞15），购买B种商品的件数比A种商品件数多

10件，求该单位选

择哪种方案才能获得更多优惠？【分析】某单位购买

A种商品x件，则购买B种商品（x+10）件，由于x＞15，所以两种商品肯定

y1，按照方案二购买花费

y2，求y1﹣y2在自变

超过35件，方案二也能采用，按方案一购买花费为量x的取值范围的正负情况即可得到答案．【解答】解：根据题意得：某单位购买按方案一购买花费为：按方案二购买花费为：

A种商品x件，则购买B种商品（x+10）件，

y1＝60×0.7x+40×0.8（x+10），y2＝60×0.75x+40×0.75（x+10），

y1﹣y2＝﹣x+20，

∵x＞15，∴﹣x＜﹣15，∴﹣x+20＜5，

若y1＜y2，则﹣x+20＜0，即x＞20时，方案一的花费少于方案二，若y1＝y2，则﹣x+20＝0，即x＝20时，方案一的花费等于方案二，

若y1＞y2，则﹣x+20＞0，即15＜x＜20时，方案二的花费少于方案一，答：当购买A商品的数量多于或方案二都可以，当购买惠．

【点评】本题考查一元一次不等式的应用，

正确找出不等量关系，

讨论不等式的正负是解题的关键．

20件时，选择方案一，当购买

A商品的数量为20件时，选择方案一

A商品的数量多于

15件少于20件时，选择方案二，这样才能获得更多优

22．（10分）如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点B为射线AP上的一点且AB＝10，过点

B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC＝6．

（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择

A或B题

ABC，点A、B、C的对应点分别为

A′、B′、C′．若

A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△

平移后点B的对应点B′的位置如图

2，连接DB′．

①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；②若图2中的DB′∥A′C′，则平移的距离为

．

B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为C′．

①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点

A′、B′、

B，请在图3中画出此时的△A′

B′C′，并在图中标注相应的字母；

②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点

B，此时平移的距离为．

【分析】（1）只要证明△ABC≌△ABD，即可推出AC＝AD，BC＝BD，可得AB垂直平分线段（2）A：①作出△A′B′C′即可；

②作DH⊥AB于H．首先证明DA＝DB′，想办法求出

；CD

AH即可解决问题；

B：①作出△A′B′C′即可；

②作C′H⊥AP于H．首先证明【解答】（1）证明：如图

C′B＝C′B′，想办法求出B′H即可解决问题；

1中，

∵BC⊥AM，BD⊥AN，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝∠BAD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分线段

CD．

（2）A：①△A′B′C′如图所示；

②作DH⊥AB于H．

在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝BC＝6，∴AD＝∵cos∠DAH＝

＝8，＝

＝

，

∴AH＝，

∵DB′∥AC，∴∠AB′D＝∠CAB，∵∠CAB＝∠DAB，∴∠DAB＝∠AB′D，∴DA＝DB′，∵DH⊥AB′，∴AH＝HB′，

∴AB′＝

，

∴BB′＝AB′﹣AB＝∴平移的距离为

，

﹣10＝，

B：①△A′B′C′如图所示：

②作C′H⊥AP于H．

∵∠ABD＝∠C′BB′＝∠C′B′A′，∴C′B＝C′B′，∵C′H⊥BB′，∴BH＝HB′，∵cos∠A′B′C′＝

＝

，

∴＝，

∴HB′＝，

∴BB′＝2B′H＝，

∴平移的距离为．

故答案为A或B，，．

【点评】本题考查几何变换综合题、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．23．（12分）综合与探究问题情境：如图

1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，

α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．

易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度

（1）变式探究：如图成立，请说明理由；（2）拓展延伸：若图

2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不

1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：

从A，B两题中任选一题作答我选择A或B题

A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；

②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当

DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，

BD，CD之间的等量关系；

B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；

②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点

D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究

线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．

【分析】（1）结论：BD＝CE．只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解决问题；②结论：CD＝

AD+BD．如图3中，作AH⊥CD于H．由△DAB≌△EAC，推出BD＝CE，在Rt△ADH

AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，可得CD＝DE+EC＝2DH+BD＝

＝2BH＝BC

；AB

中，DH＝AD?cos30°＝AD+BD；

⊥BC于H．解直角三角形可得：B：①如图1中，作AH②类似A②；

【解答】解：（1）结论：BD＝CE．理由：如图2中，

∵∠ABC＝∠DAE，∴∠DAB＝∠EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，

∴△DAB≌△EAC，∴BD＝EC．

（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴BH＝AB?cos30°＝5∴BC＝10

．

，

②结论：CD＝+BD．AD

理由：如图3中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，

在Rt△ADH中，DH＝AD?cos30°＝∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，

∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝

AD，

AD+BD．

B：①如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，

∴BH＝AB?cos30°＝∴BC＝2BH＝

，AB

AB．

②结论：CD＝+BD．AD

证明方法同A②．故答案为A或B．

【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．