精选高中模拟试卷
融水苗族自治县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
2． 函数f（x）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）
C．（﹣9，+∞） D．（﹣∞，﹣9）
3． 已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（ ） A．
B．﹣ C．4
D．
，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（ ）
4． 实数x，y满足不等式组
A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）
x2y25． 已知双曲线C：221（a0，b0），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆
ab2a，则双曲线C的离心率为（ ） 被双曲线C截得劣弧长为362104342A． B． C． D． 55556． 已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4
D．y=﹣x
D．（0，1）
7． 函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（ ） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）
8． 三个实数a、b、c成等比数列，且a+b+c=6，则b的取值范围是（ ） A．[﹣6，2] B．[﹣6，0）∪（ 0，2] C．[﹣2，0）∪（ 0，6] D．（0，2] 9．
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某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A．80＋20π B．40＋20π C．60＋10π D．80＋10π
10．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ ） A．0
B．2
C．3
D．6
＜0的解集为（ ）
11．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
12．已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
二、填空题
13．给出下列命题： ①存在实数α，使②函数③
是函数
是偶函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ
其中正确命题的序号是 ．
14．方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是 ．
15．若数列{an}满足a1a2a3ann23n2，则数列{an}的通项公式为 .
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16．【南通中学2018届高三10月月考】定义在
对
恒成立，则
上的函数满足，为的导函数，且
的取值范围是__________________.
17．函数f（x）=2ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是 ． 18．设函数f（x）=
若f[f（a）]
，则a的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为
20．已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数y=f（x）的零点为﹣1和1，求实数b，c的值； 1）内，求实数b的取值范围．
）=f（x1）﹣f（x2）．
，求此抛物线方程．
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，
21．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（（1）求f（1）的值；
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（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．
22．求下列各式的值（不使用计算器）： （1）
（2）lg2+lg5﹣log21+log39．
23．已知直线l：
（t为参数），曲线C1：
；
（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
倍，得到曲线C2，设点P是
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24．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0． （1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．
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融水苗族自治县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题
1． 【答案】B
*
【解析】解：a※b=12，a、b∈N，
若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B
2． 【答案】B
【解析】解：原函数是由t=x与y=（
2
）﹣9复合而成，
t
∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（
）﹣9其定义域上为减函数，
t
x2
∴f（x）=（）﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数， ∴函数ff（x）=（）﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．
x2
故选：B．
【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．
3． 【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数， ∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），
x
∵x∈（0，1）时，f（x）=3﹣1
∴f（log3）═﹣ 故选：B
4． 【答案】 D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距， 故由图象可知，
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使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内， 故（1，1），（0，3），（而点（故选D．
，2）成立，
，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，
故不成立；
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．
5． 【答案】B
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考点：双曲线的性质．
6． 【答案】A
【解析】解：∵点A（1，1），B（3，3）， ∴AB的中点C（2，2）， kAB=
=1，
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1， ∴线段AB的垂直平分线的方程为： y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4． 故选：A．
7． 【答案】C
【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，
0
又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=3+0=1＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
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8． 【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q， ∵a+b+c=6， ∴∴b=
=6， ．
当q＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]． 故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9． 【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
1
依题意得（2r×2r＋πr2）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，
2 即（8＋π）r2＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0， 即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0， ∴r＝2，
1
∴该几何体的体积为（4×4＋π×22）×5＝80＋10π.
210．【答案】D
【解析】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}， 则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4， 又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}， 其所有元素之和为6； 故选D．
【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．
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11．【答案】D
【解析】解：由奇函数f（x）可知而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0， 当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得
＜0，满足； ＞0，不满足，舍去；
＜0，满足；
，即x与f（x）异号，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得故选D．
＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1． 【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
12．【答案】C
2222
【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x+y=4外，可得x0+y0＞4，
求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=故直线和圆C相交， 故选：C．
＜=2，
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 ②③ ．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[错误， ②函数③当
时，
，]，∵
=cosx是偶函数，故②正确，
=cos（2×
+
错误，故①
＞，∴存在实数α，使
）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
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④当α=
，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
14．【答案】 两条射线和一个圆 ．
22
【解析】解：由题意可得x+y﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分． 由方程（x+y﹣1）
=0，可得x+y﹣1=0，或 x2+y2=4，
故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆， 故答案为：两条射线和一个圆．
【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．
6,n115．【答案】ann2,n2,nNn
【解析】【解析】a1a2a3ann1n2
n1:a16；
n2:a1a2a3an1ann1n2 a1a2a3an1 nn1故n2:an16．【答案】
n2 n
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【解析】点
睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。 17．【答案】 （﹣1，﹣1） ．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1， 即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）．
18．【答案】
【解析】解：当∵当
，由
，f（a）=2（1﹣a），
，则
，
时，
． ，解得：
，所以
；
或a=1 ．
∵0≤2（1﹣a）≤1，若分析可得a=1．
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若由综上得：故答案为：中档题．
，即，得：或a=1． 或a=1．
．
，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，
【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为
三、解答题
19．【答案】
2
【解析】解：由题意可设抛物线的方程y=2px（p≠0），直线与抛物线交与A（x1，y1），B（x2，y2） 联立方程则
2
可得，4x+（4﹣2p）x+1=0
=
=
，，y1﹣y2=2（x1﹣x2）
=
=
解得p=6或p=﹣2
22
∴抛物线的方程为y=12x或y=﹣4x
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用
20．【答案】
【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f（x）的零点，∴（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，
，解得b=0，c=﹣1．
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，
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∴，即．解得＜b＜，
即实数b的取值范围为（，）．
【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题． 21．【答案】
【解析】解：（1）令x1=x2＞0， 代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0， 故f（1）=0．…（4分）
＞1，
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（
）＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分） （3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数， 所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）． 由f（
）=f（x1）﹣f（x2）得，
f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，
所以f（25）=﹣2．
即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键． 22．【答案】
【解析】解：（1）
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=4+1﹣﹣ =1； =1﹣0+2 =3．
（2）lg2+lg5﹣log21+log39
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．
23．【答案】
22
【解析】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x+y=1， 联立方程组所以|AB|=
（II）曲线C2：
（θ为参数）．
，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣
=1；
）
设所求的点为P（cosθ，则P到直线l的距离d=当sin（
24．【答案】
sinθ），
=．
[
sin（
）+2]
）=﹣1时，d取得最小值
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称． 又f（x﹣y）=
，
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所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]= = =
= = =，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]=令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]=∵f（x﹣2）=∴f（x﹣4）=则函数的周期是4．
先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0， 设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1， 则f（x﹣2）=设2≤x1≤x2≤3，
则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0， 则f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．
，
，即f（x）=﹣
＜0，
=
，
，
=
=
=
，
，
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