高中数学教与学 。短文集锦ｏ ２０１３生 例说用线性规划思想解取值范围问题 杨 飞 （江西省大余中学，３４１５００） 有关线性规划的问题是高考的常考题． 在高中，线性规划知识给学生提供了数学建 模的方法、“用数学”的意识和实践机会，用图 解法解决平面区域、最值和最优化等实际问 题是常见的重要题型．若用线性规划思想解 决两个变量的范围问题，不仅能渗透化归、数 形结合的数学思想，还可产生灵活简易的创 新解法．本文举例说明线性规划思想在解题 中的应用，以期抛砖引玉． 例１ 若实数 、），满足４ ＋４ ＝２“ ＋ ２ 。则ｔ：２ ＋２ 的取值范围是（ ） （Ａ）（０，２］ （Ｂ）（０，４］ （ｃ）（２，４］ （Ｄ）［４，＋∞） 解 ４ ＋４ ＝２ ＋２” 可化为 （２ 一１） ＋（２ 一１） ＝２． 令ｍ＝２ ，ｎ＝２ ，则上式变为（ｍ一１） ＋ （ｎ一１） ＝２，问题就转化为：点（ｍ，ｎ）为圆 （ｍ—１） ＋（ｎ一１） ＝２在第一象限上的任意 点，求ｔ：１１１，＋ｎ的取值范围． Ａ ／ ０ 、、一 Ｂ —Ｉ１ 图１ 如图１，根据线性规划思想，看临界位置， 当直线ｎ＝一ｍ＋ｔ经过Ａ、曰点时，ｔ有最小值 为２．又因为ｍ＞０，ｎ＞０，所以ｆ＞２．当直线 ｎ＝一ｍ＋￡与圆相切时， 有最大值，此时圆心 （１，１）到直线，ｚ＝一ｍ＋ｔ的距离为 ．列式得 ４２· ｛ ，解得 ：４或０（舍去），故选Ｃ． √２ 评注 本题用线性规划思想巧妙地把两 个变量联系起来，而且没改变变量的范围，自 然就能精确作答了． 例２ 已知两个模为１的平面向量ＤＡ和 ＯＢ，夹角为１２０。，点ｃ在以０为圆心的弧ＡＢ上 变动．若０Ｃ＝ ＯＡ ＋ｙＤ ，其中 ，Ｙ∈Ｒ，则 ｙ的最大值是 ，ｌ 曰 Ａ Ｄ １ 图２ 解 建立平面直角坐标系如图２，则 ’（】’０），商＝（一 １， 所以 ＝（ 一 上鱼２＇２＂ｒ ／．因为ｌ ｌ＝１，所以（ 一号） ＋ （ ）‘＿ｌ’ｌ￣ｌＪ（２ （ ４． 设２ｘ一），＝Ｍ，√ ｙ＝ ，则上式为ｕ ＋ ＝ ４ ＋ｙ＝÷ｕ＋ ． 令ｍ＝ ＋ｙ，则ｍ＝ １ ｕ＋争，如图３． 点（ｕ， ）的几何意义为既要在直线ｍ＝ １ ｕ＋ 上，又要在圆 ｚ＋Ｖ２：４上，所以圆 ｔＬ，ｏ￣Ｕ （下转第２９页１ 第６朝 所以四边形ＯＢＣＤ为正方形，所以ＡＢ上ＯＤ． 所以ＡＢ上平面ＥＯＤ， 所以ＡＢ上ＥＤ． 高中般学教与学 ｔ蔚． Ｉ ｓｉｎ ０＝ｌ ｃｏｓ（ＥＣ，０Ｄ）Ｉ： —＿——— Ｉ １－０５ 一３’ 即直线Ｅｃ与平面Ａ雎所成角的正弦值为拿． （３）存在点Ｆ，且 ＥＦ＝了１时有ＥＣ／／平面 ＦＢＤ． ｙ 第２０题图 证明如下：由赢＝÷蔚＝（一了１’０＇一÷）， Ｆ（一÷，ｏ，号），所以商＝（÷，ｏ，一号）． 设平面ＦＢＤ的法向量为ｐ＝（口，ｂ，ｃ），则有ｙ· （２）因为平面ＡＢＥ上平面ＡＢＣＤ，且ＥＯ上ＡＢ， 所以ＥＯ上平面ＡＢＣＤ，所以ＥＯ上ＯＤ． ０，ｌ’．赢：ｏ，所以 ｆ—ｎ＋６＝ｏ， 由ＯＢ，ＯＤ，ＯＥ丽两垂直，建立如图所示的空 问直角坐标系０一ｘｙｚ． 因为三角形ＥＡＢ为等腰直角三角形，则ＯＡ＝ ＯＢ＝ＯＤ：ＯＥ．设ＯＢ＝１，所以ｏ（ｏ，０，０），Ａ（一１， ０，Ｏ），Ｂ（１，０，０），Ｃ（１，ｌ，０），Ｄ（Ｏ，１，０），Ｅ（Ｏ，０，１）． Ｉ÷ａ一 ＝０． 取ａ＝１，得ｌ，＝（１，１，２）． 因为蔚． ：（１，１．一１）．（１，１，２）：ｏ，ＲＥＣ 平面ＦＢＤ，所以ＥＣ／／平面ＦＢＤ． 所以ＥＣ＝（１，１，一１），平面ＡＢＥ的一个法向 量为ｏ６＝（０，１，０）。 设直线ＥＣ与平面ＡＢＥ所成的角为０，所以 即点，满足 ＥＦ＝÷时， ＥＣ ｆ￣ＦＢＤ． （上接第４２页） ＋ ：４，其中“≥０， ≥０，Ｙ＝ｎ＋ 女Ⅱ图４， 利用线性规划思想，原题可转化为：直线Ｙ＝ｕ ＋ 与圆弧Ｍ ＋ ＝４（Ｈ≥０，口≥０）有交点． 直线ｍ：÷ｕ＋ 的距离ｄ应不超过半径２． 可得ｍ的最大值为２，即 ＋Ｙ的最大值为２． 而Ｙ为直线Ｙ＝ ＋ 在ｔ，轴上的截距． 通过平移直线，找临界位置，可得２≤Ｙ≤ １ ２√２，所以值域为［２，２，５］． ｝ 曰 ／ ２ Ａ －！ Ｏ ２ 图３ ，， 评注 本解法灵活处理了一个二元二次 方程与目标之间的关系．利用等价转化思想， 通过换元，有效地进行简化变量，从而达到巧 解的目的． 图４ 评注 在高中阶段，求值域的基本方法 是利用函数的单调性．本题介绍的解法虽不 是解决求值域问题的通法，但它提供了一种 全新的思维方法，对培养学生的创新能力和 综合分析能力有很大的帮助． 例３ 求函数Ｙ＝ ｌ— ＋ 域为一一 ＋３的值 ，则ｕ 解 令 ＝ ， ＝ ２９·
