ｌ 一 留数在几类特殊函数的 中国高新技术企土 定积分计算中的运用 ◆文／杨谱 【摘要】 利用复积分中的留数计算几类特殊函数的定积分。 留数定理复积分 【关键词】留数求一般类型的三角有理函数的定积分，一般教科书介绍的都是 证对于任给的８＞ｏ，存在 （８）＞０，使得当时，有 （：）１ ｃ ，：∈ 。 于是．就有 先用万能公式化为一般函数的定积分，然后再利用直接法、换元法、 分部积分法等计算．这些方法虽然各有千秋，但存在共同的缺点：演 算过繁，给学习带来不便，甚至有的定积分存在但求不出来。 虽然有些文献或书籍介绍了一些用留数计算定积分的方法，但 ｇ（：）ｅ ｄｚ＝ ｇ（Ｒｅ Ｒｅ ｆ ｌ＜Ｒ ｒ￣－ｍＲ ｓｉｎ ０ｄ 这里利用了Ｉｇ（Ｒｅ ）ｌ＜８，以及 大都是限于ｆ Ｒ（ｃ。ｓ０，ｓｉｎＯ）ｄＯ型和ｆ 号 ｄｘ型的讨论。本文主要 讨论的是』二号 ｅ 型的积分，此类积分一般无法用一般的实积 分方法算出。在介绍此种积分之前先介绍预备知识。 １解法的预备知识 Ｉ ｍ ｛：ｌｅ－ｍＲ￣Ｏ＋＊ｍＲ￣ｏｓＯ ｌ＝ｅ—ｍ ｌ ０于是，由（若尔当不等式）２＿竹≤ｓｉｎ０≤８（０≤０≤手）， 得 咖 ｄｚｌ ２Ｒｓ ｅ－ｒｅＲ￣＃ ＜一 Ｐ 一：定义１．１设函数ｆ（ｘ）以有限点ａ为孤立奇点，即ｆ（ｚ）在点ａ的 某去心领域Ｏ＜ｌｚ—ａｌ＜Ｒ内解析，则称积分 』，（＝） （ｒ： １＝ 。‘ｐ‘尺） 为ｆ（ｚ）在点ａ的留数，记为 （ｚ）或记为Ｒｅｓ［ｆ（ｚ），ａ】。 定理１．２（柯西留数定理）ｆ（ｚ）在周线或复周线Ｃ所范围的区域 Ｄ内，除ａｌ，ａ２，…，ａｎ外都解析，在闭域Ｄ＝Ｄ＋Ｃ上除ａｌ ａ２，…，ａＩ＇外 ＝ ，二 竺（１＿ｅ－ｍＲ）＜ 。 证毕。 —．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ｌ 应用引理１．５可得 连续’贝 ￡，（： ＝２ 宝壁 （：） 证ａｋ以 为心，充分小的正数为半径画圆周ｒｋ：ｌｚ—ａｋＩ－ ，其 定理１．６设ｇ（ｚ）＝苦 ，其中Ｐ（ｚ）及Ｏ（ｚ）是互质多项式，且符合 条件： 中ｋ＝１，２…．ｎ，使这些圆周及其内部均含于Ｄ，并且彼此互相隔离。 （１）Ｑ（ｚ）的次数比Ｐ（ｚ）的次数高， 应用复周线上的柯西积分定理得Ｌ ： ：宝 厂。 由留数的定义，有 厂（：）如＝２ｒａＲｅ ，（：）。 （２）在实轴上Ｑ（ｚ）， （３）ｍ＞０，则有ｅｇ（三 眦出＝２ ∑Ｒ０４ｇ（ｚ ’。 ｈ口。＞ｏ……。 特别，将上述（３）分成实虚部，就可以得到形如Ｉ：：Ｑ＿ＣＰ（ｘ３ ）＿ｃ ｄ）Ｌ 代入上式即得￡，（： ＝２ 骞氅 （：）ａ 定理１．３设ａ为ｆ（ｚ）的ｎ阶极点，ｆ（ｚ）＝ Ｉｚ—ａ Ｊ” 及』 ：器ｓｉｎ眦ｄ】【的积分。 ，其中‘Ｐ（ｚ）在点 引理１．７设ｆ（ｚ）沿圆弧Ｓｒ：ｚ—ａ＝ｒｅ （０１≤０≤０２）上连续，且 （ｚ— 证仿照引理１．５即可证得。 ａ解析，‘ｐ（ａ）≠ｏ，则 （ｚ）＝罟 有‘Ｐ‘ （ａ）＝ 证Ｒ～）ｆ（ｚ）＝ 于Ｓｒ上一致成立，则有慨ｊ ｓｄ（ｚ）ｄｚ＝ｉ（０ ２—０－） 。 。这里符号‘Ｐ【０’（ａ）代表婶（ａ），且 ａ由数学分析的结论。可知上面两个反常积分都存在，其值就等于 其柯西主值。 （ｚ）。 ｏｓｆ（垆 ｆｒ 出＝ 。 ，（：）＝ 。 ３举例 定理１．４设ａ为ｆ（ｚ）＝｛ｕ｝ 的一阶极点（只要‘ＪＩｚｌ ｐ（ｚ）及ｌＩ，（ｚ）在点 ａ解析，且‘Ｐ（ａ）≠ｏ， （ａ）≠０，ｌ１． （ａ）＝ｏ），则 １・计算积分Ｊ。号 ｄｘ（ｍ＞０） 解此函数在数学分析中用比较法则，只能判断 竿 为绝对收 敛，但无法算出积分值，下面用留数定理来处理。 证因为ａ为ｆ（ｚ） 詈 的一阶极点，故 Ｒｅｓｆ（：）＝ ２留数公式 啪 ：） 一 Ｌ： 一 ⅡＪ Ｌ口Ｊ 。 被积函数为偶函数．故 ：一ｎ Ｊ。号 ａｘ 争Ｊ一 ａｘ ：２ Ｒｅ １ 扣 ｌ十： ｌ 引理１．５（若尔当引理）设函数ｇ（ｚ）沿半圆周Ｆ￣：ｚ＝Ｒｅ （Ｏ≤０≤ 订），Ｒ上连续，且ｌ ｉｍ ｇ（ｚ）￣ＦＲ上一致成立。则舰Ｌｇ（： 出＝。 【ｍ ０） ＋ 觥矧 得略Ｊｆ＋ １ ＋ ｌ：２ 竺＿＿： ～ — ２ｉ一３５２一 ¨ 于是雨 Ｌ ． 中国高新技术企业 析，因而 Ｊ广 苎！竿 ： 一，因此ｒ竺！ ： 一。 脚ｌ＋ Ｊ０ ｌ＋ ２ ）出一ｏ．即ｒ ＋ ≯＋ ≯一 ≯ —∞ ＣＯＳ ，Ｄｃ 由引理１．５知 Ｌ≯ ｏ． ， 满足若尔当引理的条件，这 由引理１．７知 ２．计算积分Ｊ— 一２ｘ＋１０ Ｚ‘一 Ｚ＋ｌＵ 解不难验证，函数ｆ（ｚ）＝ Ｅ譬 ＝ 。 ：ｉ万。 万 ２ 里ｍ＝１，ｇ（ｚ） 南黜＿，（＝）＝ 于是ｒ Ｊ—Ｘ ２ 。 ￣ｉ ）ｅ－３＋ ＝（ｌ１＋３６令ｒ一０，Ｒ＿÷＋ 取极限得ｒ Ｊ－。 所以ｒ—ｓｍ ， Ｊｏ Ｉ———— 函数ｆ（ｚ）有两个一阶极点ｚ＝１＋３ｉ及ｚ＝１—３ 。 １ ｒｍｓｉＩｌ ， ２ Ｊ－ｍ ＝一Ｉ———— ＝一ｏ 查 ：实分析中定积分的计算，与用留数的有关知识计算定积分是两 个不同学科的内容。通过上面几例，可以看出他们之间既有区别，又 有联系，解题也应该视具体情况而定，若能用实分析里的相关理论 方便的计算出定积分．用实分析来处理是最好的。但有的时候用实 分析理论计算实积分过于困难甚至无法算出．此时用留数方法来解 能收到很好的效果。这也给我们学习数学指出了一个可以参考的方 法 ）ｅ－３￣＇ ２ —（１＋３ｉ—２ｘ １０…。 ｈ ＝６ｉ ｅ－３０＋３０（ｃｏｓ１＋ｉｓｍ１） ＝ Ｐ （ｃｏｓ１—３ ｓｉｎ１）＋ｌ ｅ－３（３ｃｏｓ１＋ｓｉｎ１）。 比较等式两端的实部与虚部．就得 Ｊ－ｍ ｒ懈— ！ 一＝ ｅ－３（ｃ０ｓ１—３ｓｉｎ１），ｒ — 竺 ２ ＋１０ ３ ’ Ｊ－ｍ 一２ｘ＋１０ ３ ＝ －３（．弓ｃ０ｓ１＋ｓｈｉ１）。 ’ ３．计算积分ｆ 解此函数在数学分析中用比较法则，可以判断为绝对收敛但 无法用实分析的方法求出，下面用留数定理来求解。 由于被积函数在实轴上有奇点ｚ＝０ｒ，所以要作以原点为中心。 为半径的Ｃ ，Ｒ为半径的Ｃ ，使Ｃ 卜Ｒ，一ｒ］…Ｃ【ｒ，Ｒ］构成封闭曲线Ｃ。 考虑函数ｆ（ｚ）： 在Ｃ上的积分，由于ｆ（ｚ）＝ 在Ｃ的内部解 Ｚ Ｚ 参考文献 【Ｉ】钟玉泉．复变函数论【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００４． 【２】余家荣．复变函数【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２０００． 【３】王瑞苹．论留数与定积分的关系Ｕ】．山东：菏泽学院学报，２００５，２７ （２）：７０—７２． 【４ｌ龚冬保．复变函数典型题【Ｍ１．西安：西安交通大学出版社．２００２． （作者单位系江西科技师范学院数计学院） （上接３４７页） 培训课程。就可对志愿者培训作整体把握，打造一张覆盖全面、专精 ３．梳理管理制度．实行多元管理 社工、社区青少年和志愿者的访谈都显示目前志愿者提供的服务大 合一、针对性强、特色分明的志愿者培训网络。 多集中在协助社工组织社区青少年活动、开展社区宣传和为社区青 少年提供就业咨询，这也是目前需求量较大的一些志愿服务项目。 再次，志愿服务专业性不强。 三、急需建立健全社区青少年事务社会工作志愿者工作制度 依托区（县）社工站点、志愿者特色服务队、志愿者内部团体组 织等实行多元化、多渠道、多形式的管理较为适合。 ４．丰富激励形式．实现分层激励 首先，需要建立内容多元的志愿者培训体系。因服务对象的心 在评估激励环节，在以《志愿者服务手册》服务记录为依据的基 理和性格特点都具有一定的特殊性．这就对志愿服务的专业性有所 础上，积极听取区（县）社工站点和志愿者服务队领袖的推荐意见， 要求。访谈中，有志愿者的服务对象社区青少年提出希望能让志愿 对志愿者的服务实绩进行准量化评估。者在提供志愿服务前接受相关培训。其次，需要建立形式多样的志 ５．创设良好氛围．搭建交流平台 愿者管理体系。目前的志愿者管理存在社工个人联系、社工站层面 抓好队伍管理。通过培训、活动、评估积极发现志愿者队伍中的 登记调配、志愿者内部社团化管理等方式。对大部分志愿者而言。他 先进分子，树立志愿者典型，形成全社会关注、支持、参与青少年事 们更愿意选择简单直接的联络方式。再次．需要建立多层次的志愿 务社会工作的良好氛围。加强志愿者交流。通过网络建立网络虚拟 者激励体系。目前阳光中心对志愿者的激励以颁发纪念奖和骨干奖 平台；通过志愿者与社工、社区青少年的座谈与交流。增进彼此了 奖状，并适时表彰“十佳上海市优秀青少年事务社会工作志愿者”为主。 五、对策建议 １．加强有效宣传．招募紧缺人才 解；通过志愿者团体的总结会、焦点小组，增进交流与分享。 参考文献 招募志愿者首先要充分尊重志愿者本人的意愿，坚持自愿参 ［１】托马斯・沃尔夫．非营利组织志愿者的招募与管理ＩＪ］．中国博物馆 加，有效服务。在目前社工与志愿者的配比已超过ｌ：１Ｏ的情况下。 通讯，２００３，１２．应该进一步追求服务质量，而不是人数。 ２．丰富培训内容．加强专业指导 【２】北京志愿者协会．志愿者组织建设与管理【Ｍ】．中国国际广播出版 社，２００６年版。 落实培训载体。面对不同来源、职业、年龄、专业，职业背景的志 【３】王名．非营利组织管理概论【Ｍ】．中国人民大学出版社，２００２年版。 愿者，可以结合其自身需求和特点，实施志愿者培训工作。通过设计 （作者单位系华东理工大学社会工作系ｏ６级社会保障研究生） 一３５３—
