16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用

1、 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2、 正态分布(高斯分布) ............................................................................... 2 3、 指数分布 ...................................................................................................... 2 4、 Beta分布(分布) .................................................................................. 2 5、 Gamma分布 .................................................................................................. 3 6、 倒Gamma分布 ............................................................................................. 4 7、 威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8、 Pareto分布 ................................................................................................ 6 9、 Cauchy分布(柯西分布、柯西-洛伦兹分布) ................................... 7

210、 分布(卡方分布) ............................................................................. 7

11、 t分布 ........................................................................................................ 8 12、 F分布 ........................................................................................................ 9 10 13、 二项分布 ................................................................................................ 10 14、 泊松分布(Poisson分布) .................................................................. 11 15、 对数正态分布 .......................................................................................

1. 均匀分布

均匀分布X~U(a,b)就是无信息的,可作为无信息变量的先验分布。

f(x)1 baE(X)ab 2(ba)2Var(X)

122. 正态分布(高斯分布)

当影响一个变量的因素众多,且影响微弱、都不占据主导地位时,这个变量很可能服从正态分布,记作X~N(,2)。正态分布为方差已知的正态分布

N(,2)的参数的共轭先验分布。

(x)222f(x)1e2

E(X)

Var(X)2

3. 指数分布

指数分布X~Exp()就是指要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间。其中0为尺度参数。指数分布的无记忆性:PXst|XsP{Xt}。

f(x)ex,x0

E(X)1

Var(X)12

4. Beta分布(分布)

Beta分布记为X~Be(a,b),其中Beta(1,1)等于均匀分布,其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布B(n,p)中的参数p的先验分布取Beta(a,b),实验数据(事件A发生y次,非事件A发生n-y次),则p的后验分布Beta(ay,bny),即Beta分布为二项分布B(n,p)的参数p的共轭先验分布。

(x)tx1etdt

0f(x)(ab)a1x(1x)b1 (a)(b)E(X)a abVar(X)ab 2(ab)(ab1)5. Gamma分布

Gamma分布即为多个且相同分布的指数分布变量的与的分布,解决的问

题就是“要等到n个随机事件都发生,需要经历多久时间”,记为X~Ga(a,b)。其中a0为形状参数,b0为尺度参数。Gamma分布为指数分布Exp()的参数、Poisson分布P()的参数的共轭先验分布。

baa1bxf(x)xe,x0(a)

E(X)a ba 2bVar(X)

6. 倒Gamma分布

倒Gamma分布记为X~IGa(a,b)。若随机变量X~Ga(a,b),则

1~IGa(a,b)。其中a0为形状参数,b0为尺度参数。倒Gamma分布为指数X1分布Exp()的参数、均值已知的正态分布N(,2)的参数2的共轭先验分

布。

ba(a1)bxf(x)xe,x0 (a)E(X)b a1b2Var(X),a2

(a1)2(a2)

7. 威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布)

威布尔分布记为X~W(m,)。其中m0为形状参数,0为尺度参数。当

m1,它就是指数分布;m2时,就是Rayleigh distribution(瑞利分布)。常用于拟

合风速分布,并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。

f(x)mxm1exm,x0

1E(X)1

m2212Var(X)11 mm

8. Pareto分布

Pareto分布记为X~Pa(a,b)。其中b0为门限参数,a0为尺度参数。Pareto分布就是一种厚尾分布。Pareto分布为均匀分布U(0,)的参数的共轭先验分布。

a1abf(x)bxE(X),xb

ab,a1 a1ab2Var(X),a2

(a1)2(a2)9. Cauchy分布(柯西分布、柯西-洛伦兹分布)

Cauchy分布记为X~Ca(a,b)。其中a为位置参数,b0为尺度参数。中位数

Mode(X)a,期望、方差都不存在。如果X1,X2,,Xn就是分别符合柯西分布的

相互同分布随机变量,那么算术平均数X1,X2,较扁、宽的曲线。

,Xn/n服从同样的柯西分

布。标准柯西分布Ca(0,1)就是t分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种比

f(x)bb2(xa)21

10. 分布(卡方分布)

设X1,X2,2ni12

,Xn就是来自N(0,1)的样本,则称统计量Xi2服从自由度

为n的2分布,记为2~2(n)。

f(x)1n22n2xnx122e,x0

E(X)n

Var(X)2n

11. t分布

X服从自由度Yn为n的t分布。记为t~t(n)。当自由度n时,t分布将趋于N(0,1)。有时样本量很小,不知道总体的标准偏差,则可以依赖 t统计量(也称为 t分数)的分布,其值

X~t(n1),其中X就是样本均值,μ就是总体均值,s就是样本的由下式给出:sn标准偏差,n就是样本大小。

设X~N(0,1),Y~2(n),且X,Y相互,则称随机变量tn1n1x222f(x)1nn n2E(X)0

Var(X)n,n2 n2

12. F分布

Un设U~2(n1),V~2(n2),且U,V相互,则称随机变量F1服从自由度

Vn2为(n1,n2)的F分布,记为F~F(n1,n2)。设X1,X2,,Xn1与Y1,Y2,,Yn2分别就是来

2)的样本,且这两个样本相互。设X,Y分别自正态总体N(1,12)与N(2,22就是这两个样本的样本均值;s12,s2分别就是这两个样本的样本方差,则有

s122s212222w22时,~F(n11,n21);当122(XY)(12)~t(n1n22),其中

11swn1n22(n11)s12(n21)s2。 sn1n22nn1n2n1211x2n2n12f(x)nnn121122n2E(X)xn1n22,x0

n1,n12 n122n12(n1n22)Var(X),n14

n2(n12)2(n14)

13. 二项分布

二项分布十分好理解,给您n次机会抛硬币,硬币正面向上的概率为p,问在这n次机会中有k次(k≤n)硬币朝上的概率为多少。记为X~B(n,p)。当n足够大,且p不接近于0也不接近于1时,二项分布B(n,p)可用正态分布N(np,np(1p))来近似。

P(Xk)n!pk(1p)nk,p[0,1] (nk)!k!E(X)np Var(X)np(1p)

14. 泊松分布(Poisson分布)

泊松分布解决的就是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”,记为

npX~P()。当二项分布满足时,二项分布近似为泊松分布。泊松分布P()n当足够大时,变成正态分布N(,)。

P(Xk)kek!,0

E(X) Var(X)

15. 对数正态分布

对数正态分布就是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y就是正态分布的随机变量,则exp(Y)就是对数正态分布;同样,如果X就是对数正态分布,则ln(X)为正态分布,如果一个变量可以瞧成就是许多很小因子的乘积,则这个变量可以瞧作就是对数正态分布,如拟合风速分布模型,记为

X~LN(,2)。

1f(x)e2(lnx)222,x0

22

E(X)e222Var(X)(e1)e

16. 瑞利分布

当一个随机二维向量的两个分量呈的、有着相同的方差的正态分布时,这个向量的模呈瑞利分布。

f(x)xe2x222,x0

E(X)2

Var(X)42 2