基于有限元法–正交球面波源边界点法的振动体声学灵敏度分析

JOURNALOFGUANGXIUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYVol.30No.3Sep.2019基于有限元法–正交球面波源边界点法的

振动体声学灵敏度分析

王文璟

（铜陵职业技术学院，安徽铜陵244061）

摘

要：建筑噪声是环境噪声污染的一个主要来源，解决建筑噪声辐射问题的根本途径是从噪声源入手控制噪

声的产生，也就是对建筑设备进行低噪声设计.因此，必须对噪声源进行量化的声学灵敏度分析，以便为设计提供优化方向.本文提出基于有限元法-正交球面波源边界点法的声学灵敏度计算方法，用于振动体的辐射声场对振动体的材料和结构几何参数等设计变量的灵敏度计算.该方法避免了有限元-边界元法存在的系数矩阵奇异积分、数值求积和非唯一性问题，从而降低了设计计算的难度.数值计算结果表明了所提分析方法的正确性与可行性.

关键词：建筑噪声；灵敏度分析；正交球面波源边界点法；有限元法中图分类号：TU112

DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.03.009

0引言

解决建筑噪声问题的根源在于抑制固体振动源的声辐射[1]，而控制声辐射最有效的方法是对振源结构的材料属性和几何形状等参数进行优化设计以降低声辐射.为了实现这一目标，不但需要预测振动体的辐射声场，还需要计算辐射声场对振动体的材料属性和几何形状的灵敏度，用于指导噪声环境的优化设计.立了多种基于上述两种方法的声学灵敏度分析方法[9].实际上，对于声学问题来说，由于计算域的无界特算，同时还存在奇异积分处理和非唯一性等问题，导致边界元法的计算复杂并且计算效率较低.将边界元法用于声学灵敏度计算时，需要对系数矩阵进行求导，导致计算的复杂度进一步增加.鉴于上述局限性，降低了数值处理难度并提高了计算效率.在目前的基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度计算方法中，作为输入量的结构频率响应和结构灵敏度是通过近场声全息重建得到.由于近场声全息本质上是一种测试技术，因此目前的方法只适合用于已经完成制造安装的结构的声学灵敏度分析.但是，声学灵敏度分析更重要的应用场合是在设计过程，在设计阶段实现噪声辐射的优化和控制能够降低成本和缩短开发过程.

针对目前基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度计算方法存在的局限性，本文将该方法与有限元法相结合.其中，有限元法用来计算振动体的结构振动频率响应以及结构振动对设计变量的导数，这些结构响应和导数计算结果作为正交球面波源边界点法的输入参数进一步计算振动体辐射声场对结构设计变量的声学灵敏度，从而实现振动体声辐射灵敏度的正向设计.

有学者提出了基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度分析方法[10-12].该方法避免了边界元法存在的问题，

有限元[2-4]和边界元法[5-8]是目前用于振动体声学灵敏度分析的两种主要方法，国内外学者已经相继建

性，边界元法是更适合用于声学灵敏度分析的算法.但是，由于边界元法的系数矩阵需通过数值积分计

收稿日期：2019-01-01

基金项目：安徽省重点教学研究项目（2017jyxm0666）资助.

作者简介：王文璟，硕士，讲师，研究方向：建筑结构、建筑环境，E-mail：20123294@qq.com.

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1基于有限元法-正交球面波源边界点法的声学灵敏度

球面波源边界点法[3]可得到声场中点r处的声压p(r)为：

假设振动体表面N个结点（表示为rsi，i表示第i个结点）上的法向振速组成的向量为vns，则基于正交

*+

p(r)=p*f(r)(vns)vns

（1）

2

式中，+——矩阵的广义逆，v*—表面法向振速特解矩阵，由元素υ*j(rsi)组成，j=n+n+m+1，m和ns—n——球面谐波函数的阶数，并且n=0,⋯,∞，m=-n,⋯,n，因此v*ns的表达式为：

***

éυ1(rs1)υ2(rs1)⋯υJ(rs1)ùê*ú**υ(r)υ(r)⋯υ(r)J2s2s2úê1s2

v*ns=ê⋮⋮ú

ê*ú**υ(r)υ(r)⋯υ(r)JsNsNsN12ëû

1dh(1)n(krsi)υ(rsi)=-Ynm(θsi,ϕsi)

iωρdr*

j

（2）

表达式为：

与式（2）类似，式（1）中的p*—j的最大值；i=f(r)为声场中的点r对应的声压特解行向量；J—***

p*f(r)=[ψ1(r),ψ2(r),⋯,ψJ(r)]

m(1)

ψ*j(r)=hn(krj)Yn(θj,ϕj)

（3）

-1；

（4）（5）

θj分别表示斜z轴与rsi和rj之间的夹角，ϕsi和ϕj分别表示正x轴与rsi和rj之间的夹角，h(1)n(kr)为第一类球汉

在式（3）和式（5）中，rsi和rj分别表示球面波源所处位置与第i个表面结点rsi和场点r之间的距离，θsi和

克尔函数，Ynm(θ,ϕ)为（m，n）阶球面谐波函数，其表达式为[3，13]：

m

式中，Pn(cosθ)为第一类连带勒让德函数.

Ynm(θ,ϕ)=

(2n+1)(n-m)!m

P(cosθ)exp(imϕ)

4π(n+m)!n

（6）

假设振动体的设计变量用h表示，h可以为结构参数（厚度、长宽、结点坐标等），也可以为材料特性

（杨氏模量等），该振动体辐射声场的声学灵敏度是指声场中某点的声学量（如声压、振速、声强等，本文以声压为例）对该设计变量h的导数.根据上述定义，以声压为目标函数的声学灵敏度可以通过对式（1）两边求导得到：

*+

∂vnsù∂p(r)∂é∂(vns)**+*+

=[pf(r)(vns)vns]=pf(v)êvns+(v*)úns

∂hû∂h∂hë∂h使用逆矩阵的求导公式：

+

∂(v*∂v*ns)ns*++

=-(vns)(v*ns)∂h∂h可以得到：

∂vnsù∂p(r)∂v*éns**++*+

=pf(r)ê-(vns)(v*)v+(v)únsnsns

∂h∂h∂hûë

（7）

（8）

（9）

式（9）即为基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度计算公式.在该公式中矩阵v*ns与结构相关，因此

该矩阵相对设计变量的导数不为零，该导数可以通过对式（2）求导得到.在已知表面法向振速vns及其导数的前提下，使用式（9）即可求得声压相对设计变量的灵敏度.在之前研究中vns及其导数是通过近场声全息重建获得，但是这种方式不适合用于正向的声学优化设计，为此本文将有限元法和正交球面波源边界点法相结合，建立正向的声学灵敏度计算方法.

对于简谐激励条件下的有阻尼强迫振动，其在频域中的有限元方程为[12]：

AXns=(-ω2M+iω C+K) Xns=F

式中，M——结构质量矩阵；C——阻尼矩阵；K——刚度矩阵；Xns——表面结点处的法向位移向量；F——载荷幅值向量；ω——激励载荷的角频率.利用速度和位移之间的频域关系，即vns=iω Xns，式（10）可

（10）

第3期王文璟：基于有限元法–正交球面波源边界点法的振动体声学灵敏度分析

57（11）

以改写为：

由于外部激励载荷通常与结构本身无关，因此F对设计变量的导数为0，则式（11）两边对设计变量h求导，可得：

∂vns∂A+v=0∂h∂hns

因此，由式（12）可得表面法向振速的导数为：

∂vns∂A=-A-1v∂h∂hns

将式（12）代入式（9）得到基于有限元法-正交球面波源边界点法的声学灵敏度为：

A

∂p(r)∂Aùé*+∂v*ns*+*+-1

=-pf(r)ê(vns)(v*)+(v)Aúvnsns

∂h∂h∂hûnsë

Avns=iωF

（12）（13）

（14）

2数值验证

以如图1所示箱体模型为例计算声学灵敏度并验

证本文方法.箱体尺寸为30cm×30cm×30cm，其表面划分为600个单元，共有602个结点.模型材料密度2700kg/m3，杨氏模量为7.2×1010Pa，泊松比0.35，箱体6面壁厚为0.3cm.为激励振动，施加幅值为1kN，频率为0.2kHz的简谐力，加载位置如图1所示.除被激表面外，箱体其余表面边界条件为固支.选取被激励箱体表面的厚度为设计变量.计算过程中，声速c=344m/s；空气密度ρ=1.2kg/m3，正交球面波源放在箱体中心，共使用了35阶球面波源.场点取沿z轴方向0.3m开始到1.5m结束，间隔0.1m，共13个点.

图1箱体模型及激励示意图

Fig.1Theboxmodelandexcitationdiagram

箱体的表面法向振速vns采用有限元软件NASTRAN中的直接频率响应分析模块SOL108计算得到，如

图2所示.箱体表面法向振速vns的导数采用NASTRAN的优化分析模块SOL200得到其表面结构振动灵敏度，结果如图3所示.

图2箱体模型表面法向振速分布Fig.2Thenormalvelocitydistributionof

theboxmodel图3箱体表面结构振动灵敏度分布Fig.3Thevibrationsensitivityanalysis

oftheboxstructure

58广西科技大学学报第30卷

将求得的表面法向振速及其导数代入式（14），可以计算得到声压对该被激励表面厚度的声压灵敏度.为验证本文所提出方法的正确性，将本文方法计算所得结果与利用有限元差分法计算所得的结果进行比较.有限差分法作为一种声学灵敏度的有效计算方法，在应用中收敛情况很大程度上依赖于差分步长，且为获得设计变量改变后的声学参量，需对有限元模型进行多次修改，很大程度增加了计算量.有限差分法表达式为：

∂ p(r)Δpp(r,h+Δh)-p(r,h)

≈=∂hΔhΔh（15）

式中，Δh表示厚度的变化量.

出，两者计算结果基本相同.由图5可看到计算结果相对误差在Δh=1×10-4m时，实部和虚部误差基本大于

10%，极值甚至达到了15%；而随着差分增量Δh的减小，误差随之减小，当Δh=1×10-5m时，实部和虚部误差几近为1%，最大不超过2%，逐渐向基于有限元法-正交球面波源边界点法的灵敏度计算结果收敛.从而说明了本文方法的正确性和可行性.

基于本文方法与有限差分法的计算结果如图4所示.Δh分别取值1×10-4m、1×10-5m，由图4可以看

（a）Δh=1×10-4m时灵敏度计算结果对比（b）Δh=1×10-4m时灵敏度计算结果对比

（c）Δh=1×10-5m时灵敏度计算结果对比（d）Δh=1×10-5m时灵敏度计算结果对比

图4本文方法和有限差分法灵敏度计算结果的对比

Fig.4Comparisonofthesensitivitywithrespecttotheradiuscalculatedbytheproposedmethodand

thefinitedifferencemethod

（a）Δh=1×10-4m时的相对误差结果（b）Δh=1×10-5m时的相对误差结果

图5本文方法和有限差分法计算结果的相对误差

Fig.5Therelativeerroroftheresultscalculatedbytheproposedmethodandthefinitedifferencemethod

第3期王文璟：基于有限元法–正交球面波源边界点法的振动体声学灵敏度分析

593结论

本文将正交球面波源边界点法和有限元法相结合，建立了声学灵敏度分析方法.由于正交球面波源边界点法的引入，规避了常用的边界元法中系数矩阵的奇异积分、数值求积和非唯一性问题，大幅消除了数值处理工作的困难；与有限元法相结合，实现了振动体的辐射声场对振动体的材料和结构几何参数等设计变量的灵敏度正向计算.数值计算结果表明了所提分析方法的正确性与可行性，以期能对建筑噪声源的控制提供一定的优化方向和量化依据.

参考文献

[1][2][3][4][5][6]

程芙荣.城市环境噪声的治理[J].广西工学院学报，2006，17（2）：107-110.

HAGIWARAI，MAZD.Developmentofeigenmodeandfrequencyresponsesensitivityanalysismethodsforcoupledacous-tic-structuresystems[J].JSMEInternationalJournalSeries，1992，35（2）：229-235.

张永斌，毕传兴，陈剑，等.基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度分析[J].机械工程学报，2007，43（2）：33-38.陈立涛.结构声学灵敏度计算方法研究[D].合肥：合肥工业大学，2013.

蔡俊，林琼，蔡伟民.用边界元法研究不同顶端声屏障的性能[J].噪声与振动控制，2006（3）：-91，109.

ZHENGCJ，MATSUMOTOT，TAKAHASHIT，etal.Explicitevaluationofhypersingularboundaryintegralequationsforacousticsensitivityanalysisbasedondirectdifferentiationmethod[J].EngineeringAnalysiswithBoundaryElements，2011，35（11）：1225-1235.[7]

ZHENGCJ，MATSUMOTOT，TAKAHASHIT，etal.Awidebandfastmultipoleboundaryelementmethodforthreedi-mensionalacousticshapesensitivityanalysisbasedondirectdifferentiationmethod[J].EngineeringAnalysiswithBoundaryElements，2012，36（3）：361-371.[8][9]

张永斌，汪术龙，毕传兴，等.预测声屏障插入损失的抛物方程法及其初始声场研究[J].声学学报，2018，43（1）：69-75.

韩俊，向宇，陆静.敷设被动约束层阻尼封闭箱体结构声振特征分析[J].广西工学院学报，2012，23（1）：39-44.[10]张永斌，毕传兴，陈剑，等.基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度分析[J].机械工程学报，2007，43（2）：33-38.[11]张永斌，毕传兴，陈剑，等.FFT在平面机械结构声学灵敏度分析中的应用[J].农业机械学报，2008，39（12）：216-218，173.

[12]张永斌，毕传兴，陈剑，等.基于波叠加的结构—声学灵敏度分析的伴随变量方法[J].机械工程学报，2009，45（4）：

177-182.

Acousticsensitivityanalysisbasedonfiniteelementmethod–orthogonalsphericalwavesourceboundarypointmethod

WANGWenjing

(TonglingPolytechnic,Tongling244061,China)

Abstract:Theconstructionnoiseisamainsourceofenvironmentalnoise.Theeffectivewaytocontroltheconstructionnoiseistomakethenoisesourcesgeneratelessnoise,i.e.controllingnoiseinthede-signstage.However,implementinglownoisedesignofconstructionequipmentsrequiresmoreinforma-tionthatcannotbeobtainedempirically.Instead,thequantitativevalueofacousticsensitivityisneces-saryforlownoisedesignsinceitcanprovidetheoptimizedorientationforlownoisedesignofradiatingstructures.Inthepaper,thefiniteelementmethodandorthogonalsphericalwavesourceboundarypoint

（下转第页）

第3期杜冉冉等：技术多元化视角下广西新能源汽车产业创新网络研究

ResearchoninnovationnetworkofGuangxinewenergyautomobile

industryfromtheperspectiveoftechnologydiversification

DURanran,GUANShiping*,ZHUXiaoqin

(SchoolofEconomicsandManagement,GuangxiUniversityofScienceandTechnology,Liuzhou545006,China)

Abstract：BasedonthepatentdataofGuangxinewenergyvehiclesfrom1990to2017fromthedata-baseoftheStateIntellectualPropertyOffice,thispaperusesthesocialnetworkanalysissoftwareUci-nettosortoutthetechnicalandcooperativerelationshipsbetweenthesepatents.Usingsocialnetworkanalysismethod,thispaperstudiesthestructuralcharacteristicsofGuangxiNewEnergyAutomobileIn-dustryInnovationNetworkfromtheperspectiveoftechnologydiversification.TheresultsshowthattheinnovationtechnologydiversificationdegreeofGuangxinewenergyautomobileindustryisnothighandthenetworkdensityislow.ThenweproposetheoptimizationstrategyforGuangxiNewEnergyAu-tomobileIndustryInnovationNetwork.

Keywords:innovationnetwork;networkstructure;newenergyautomobile;technologydiversification

（责任编辑：黎娅）

（上接第59页）

methodiscombinedforacousticsensitivityanalysis,bywhichsensitivityofacousticquantitieswithre-specttothedesignvariablessuchasstructuralparametersandphysicalpropertiescanbeachievedpre-cisely.Comparedwiththeconventionalmethodthatcombinesthefiniteelementmethodandboundaryelementmethod,theproposedmethodhasnoinherentproblemofsingularintegrationandnon-unique-nesswhichwillmakenumericalprocessingmorecomplicated.Thevalidityandfeasibilityofthepro-posedmethodisverifiedbynumericalresults.

Keywords:constructionnoise;sensitivityanalysis;orthogonalsphericalwavesourceboundarypointmethod;finiteelementmethod

（责任编辑：黎娅）

（上接第63页）

Researchonlaser-basednon-contactaudioacquisition

XUChea,ZHOULijuan*b,CHENQinghuab

（a.SchoolofElectricandInformationEngineering;b.ScienceCollege,GuangxiUniversityofScienceandTech-nology,Liuzhou545006,China）

Abstract:Anon-contactaudioacquisitionsystemisdevelopedbasedonthespecialdirectionality,co-herence,andmonochromaticcharacteristicsoflaser.Inthesystem,acousticsignalscanbefirstcollect-edbyalaserbeamonavibratingobject.ByusingtheLabVIEWsoftwareboththetimeandfrequencydomainanalysisofsoundsignalsaretakenthen,thedataaredisplayedontheworkpanel.Thesimula-tionandexperimentalresultsareingoodagreementwitheachother,whichmeansthatthesystemmayprovidebasictheoreticalsupportforfutureacousticsignalanalysisandprocessing.Keywords:laser;soundandvibrationsignals;LabVIEW

（责任编辑：黎娅）