按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现

按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现

按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现

一、DIT-FFT算法的基本原理

基2FFT算法的基本思想是把原始的N点序列依次分解成一系列短序列，充分利用旋转因子的周期性和对称性，分别求出这些短序列对应的DFT，再进行适当的组合，得到原N点序列的DFT，最终达到减少运算次数，提高运算速度的目的。 按时间抽取的基2FFT算法，先是将N点输入序列x(n)在时域按奇偶次序分解成2个N/2点序列x1(n)和x2(n)，再分别进行DFT运算，求出与之对应的X1(k)和X2(k)，然后利用图1所示的运算流程进行蝶形运算，得到原N点序列的DFT。只要N是2的整数次幂，这种分解就可一直进行下去，直到其DFT就是本身的1点时域序列。

图1 DIT-FFT蝶形运算流图

二、DIT-FFT算法的运算规律及编程思想

1.原位计算

对N=2点的FFT共进行M级运算，每级由N/2

M个蝶形运算组成。在同一级中，每个蝶的输入数据只对本蝶有用，且输出节点与输入节点在同一水平线上，这就意味着每算完一个蝶后，所得数据可立即存入原输入数据所占用的数组元素(存储单元)，经过M级运算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值，这种原位(址)计算的方法可节省大量内存。 2.旋转因子的变化规律

N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子W，p称为旋转因子的指数。例如N＝8

pN＝2 时各级的旋转因子：

3 第一级：L=1， 有1个旋转因子：W=W=W

pNJN/4J2LJ=0

第二级：L=2，有2个旋转因子：W=W =W

pNJN/2J2LJ=0,1

第三级：L=3，有4个旋转因子：W=W =W

pNJNJ2LJ=0,1,2,3

对于N＝2的一般情况，第L级共有2个不同的

ML-1旋转因子：

W=W J=0,1,2,… ,2－1

pNJ2LL-1 2=2×2= N·2

L

ML-ML-M故： 按照上面两式可以确定第L级运算的旋转因子

3、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目 第L级FFT运算中，同一旋转因子用在2个蝶形中；

4、同一级中，蝶形运算使用相同旋转因子之间相隔的“距离”

第L级中，蝶距：D=2；

L

M-L5、同一蝶形运算两输入数据的距离

在输入倒序，输出原序的FFT变换中，第L级的每一个蝶形的2个输入数据相距：B=2。

L-1

6、码位颠倒

输入序列x(n)经过M级时域奇、偶抽选后，输出序列X(k)的顺序和输入序列的顺序关系为倒位关系。

将十进制顺序数用I表示，与之对应的二进制是用IB表示，十进制倒序数用J表示，与之对应的二进制是用JB表示。十进制顺序数I增加1，相当于IB最低位加1且逢2向高位进1，即相当于JB最高位加1且逢2向低位进1。JB的变化规律反映到J的变化分为两种情况，若JB的最高位是0（J7、蝶形运算的规律

序列经过时域抽选后，存入数组中，如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，蝶形运算可表示成如下形式： XL-1(J

X L-1

XL (J)= XL-1(J)+ WNp X L-1 (J+B) XL (J) = XL-1(J)WNp X L-1 (J+B)

(J+B)

pWN

p=J×2M-L， J=0,1,2,… ,2L-1－1

8、 DIT-FFT程序框图

根据DIT-FFT原理和过程，DIT-FFT的完整程序框图如图2：

(1)倒序:输入自然顺序序列x(n)，根据倒序规律，进行倒序处理；

(2)循环层1:确定运算的级数，L=1~M (N=2)；

M确定一蝶形两输入数据距离B=2

L-1(3)循环层2:确定L级的B=2个旋转因子；旋转

L-1因子指数p=J×2，J=0~B-1；

M-L(4)循环层3:对于同一旋转因子，用于同一级2(使用同一旋转因子的蝶形相距的距离) (5)完成一个蝶形运算。

M-L个蝶形运算中：k的取值从J到N-1，步长为2

L

开 始送入x(n)，MN＝2 M倒 序L＝1 , MB 2 L－1Ｊ＝0 , B－ 1P＝2 M －LJk＝ J , N－1 , 2LX(k)X(k)X(kB)WpNX(kB)X(k)X(kB)WpN输 出结 束 图2 数据倒序程序框图图3 DIT-FFT的完整程序框图

三、程序源代码

设计函数myDitFFT(xn)完成一个序列的DIT-FFT运算：

function y=myDitFFT(xn) M=nextpow2(length(xn)); N=2^M;

disp('调用fft函数运算的结果:'), fftxn=fft(xn,N);

if length(xn)xn=[xn,zeros(1,N-length(xn))]; end

for m=0:N/2-1;%旋转因子指数范围

WN(m+1)=exp(-j*2*pi/N)^m;%计算旋转因子 end

disp('输入到各存储单元的数据:'),disp(xn); %数据倒序操作 J=0;%给倒序数赋初值

for I=0:N-1;%按序交换数据和算倒序数 if IT=xn(I+1);xn(I+1)=xn(J+1);xn(J+1)=T; end

%算下一个倒序数 K=N/2; while J>=K; J=J-K;K=K/2; end J=J+K; end

disp('倒序后各存储单元的数据:'), disp(xn);

% 分级按序依次进行蝶形运算 for L=1:M;%分级计算

disp('运算级次:'),disp(L); B=2^(L-1);

for R=0:B-1;%各级按序蝶算 P=2^(M-L)*R;

for K=R:2^L:N-2;%每序依次计算

T=xn(K+1)+xn(K+B+1)*WN(P+1); xn(K+B+1)=xn(K+1)-xn(K+B+1)*WN(P+1); xn(K+1)=T; end end

disp('本级运算后各存储单元的数据:'),disp(xn); end

在主函数中调用myDitFFT(xn)函数实现DIT-FFT并和直接DFT运算结果做对比：

xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; myDitFFT(xn);

调用fft函数运算的结果: 1 至 7 列

28.0000 + 0.0000i -4.0000 + 9.6569i -4.0000 + 4.0000i -4.0000 + 1.6569i

-4.0000 + 0.0000i -4.0000 - 1.6569i -4.0000 - 4.0000i 8 列

-4.0000 - 9.6569i

调用myDitFFT(xn)函数运行的结果：输入到各存储单元的数据:

0 1 2 3 4 5 6 7

倒序后各存储单元的数据:

0 4 2 6 1 5 3 7 运算级次: 1

本级运算后各存储单元的数据:

4 -4 8 -4 10 -4

6 -4

运算级次: 2

本级运算后各存储单元的数据: 1 至 7 列

12.0000 + 0.0000i -4.0000 -4.0000 + 0.0000i -4.0000 16.0000 + 0.0000i -4.0000 -4.0000 + 0.0000i 8 列

-4.0000 - 4.0000i 运算级次: 3

本级运算后各存储单元的数据: 1 至 7 列

28.0000 + 0.0000i -4.0000 -4.0000 + 4.0000i -4.0000 -4.0000 + 0.0000i -4.0000 -4.0000 - 4.0000i

+ 4.0000i - 4.0000i + 4.0000i + 9.6569i + 1.6569i - 1.6569i

8 列

-4.0000 - 9.6569i

经对比可知DIT-FFT与直接DFT的运行结果完全相同。

四、总结

经过验证可发现DIT-FFT较直接DFT运算有着明显的优势，我们可以将这个函数运用在多个领域以简化运算，例如计算离散时间序列的卷积或计算IDFT时都可以应用到DIT-FFT算法，我感受到数字信号处理中科学思想的魅力。由于对设计思路的缺乏，我在设计程序时，在网络上查找了很多有关DIT-FFT的资料，经过学习他人的解决思路最后才整理出DIT-FFT的程序，在有些地方我自己理解的还不是很透彻，比如在实现数据倒序的程序我认为比较困难；当然即使自己想不到能学习一下别人的思路也是很好的，这个程序的代码量并不大，我自身的能力还很低，要在以后的学习中不断进步才能完成更加复杂的任务。这次课程设计让我对快速傅里叶变换有了更多的了解，也认识到了科学计算方法的重要性，我感

到很充实。

参考文献—— 百度百科；

按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现[J].电子技术，2011（2）

数字信号处理 （第四版）西安电子科技大学出版社 高希全 丁玉美 编