临河区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 若实数x，y满足不等式组A．6

B．﹣6 C．4

D．2

则2x+4y的最小值是（ ）

2． 已知复合命题p∧（￢q）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A．（￢p）∨q B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）

3． 命题“若a＞b，则a﹣8＞b﹣8”的逆否命题是（ ） A．若a＜b，则a﹣8＜b﹣8 C．若a≤b，则a﹣8≤b﹣8

B．若a﹣8＞b﹣8，则a＞b D．若a﹣8≤b﹣8，则a≤b

x2y24． 已知双曲线C：221（a0，b0），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆

ab2a，则双曲线C的离心率为（ ） 被双曲线C截得劣弧长为362104342A． B． C． D． 55555． 如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值 ②DC1⊥D1M ③∠AMD1的最大值为90° ④AM+MD1的最小值为2．

A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④

6． 设函数yf''x是yf'x的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数

fxax3bx2cxda0都有对称中心x0,fx0，其中x0满足f''x00.已知函数

232016ff...f（ ） 2017201720172014 C．2015 D．20161111] A．2013 B．1151fxx3x23x，则f32122017第 1 页，共 19 页

7． 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ） A．a＜1＜b

B．a＜b＜1

C．1＜a＜b

D．b＜1＜a

个单位长度后，与函数y=tan（ωx+

）的图象

8． 若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移

重合，则ω的最小值为（ ） A．

B．

C．

D．

9． 已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为 （ ）

A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2}

10．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（

A． B． C． + D． ++1

11．已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）

A．24 B．80 C． D．240

12．已知两条直线L1:yx,L2:axy0，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12内变动 时，的取值范围是（ ）

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）A． 0,1 B．33,3 C．33,11,3 D．1,3

二、填空题

13．已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为 ．

14．在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且abcosCcsinB，则角B 为 .

15．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=

，且|ω|=5

，则复数ω= ．

16．如果定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2（fx1），则称函数为“H函数”，给出下列函数

①f（x）=3x+1 ②f（x）=（）x+1 ③f（x）=x2+1 ④f（x）=其中是“H函数”的有 （填序号）

17．设函数f（x）=

18．log3

+lg25+lg4﹣7

则函数y=f（x）与y=的交点个数是 ．

0

﹣（﹣9.8）= ．

三、解答题

19．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．

（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围； （2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．

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20．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FEFH，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A,B放在弧EF上，点C,D放在斜边EH上，且AD//BC//HF，设AOE.

（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；

（2）试确定的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值.

21．设函数f（x）=lnx+，k∈R．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求k值； （Ⅱ）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围；

（Ⅲ）已知函数f（x）在x=e处取得极小值，不等式f（x）＜的解集为P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．

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22．（本题满分12分）已知向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数 2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足2bc2acosC，求f(B)的取值范围.

【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.

23．已知函数f（x）=alnx+（I）求a、b的值；

（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞

24．（本小题满分16分）

在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量hx（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式hxfxgx（3x7，m为常数），其中fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.

恒成立，求实数k的取值范围．

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．

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（1） 求hx的表达式；

（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

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临河区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=2x+4y得y=﹣

x+，

x+经过点C时，

平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣直线y=﹣由

x+的截距最小，此时z最小， ，解得

，

即C（3，﹣3），

此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6． 故选：B

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．

2． 【答案】B

【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题， 可推出￢p为假命题，q为假命题， 故为真命题的是p∨q， 故选：B．

【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．

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3． 【答案】D

【解析】解：根据逆否命题和原命题之间的关系可得命题“若a＞b，则a﹣8＞b﹣8”的逆否命题是：若a﹣8≤b﹣8，则a≤b． 故选D．

【点评】本题主要考查逆否命题和原命题之间的关系，要求熟练掌握四种命题之间的关系．比较基础．

4． 【答案】B

考点：双曲线的性质．

5． 【答案】A

【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V=

=为定值，故①正确．

②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确． ③当0＜A1P＜

时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；

④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值， 在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1=故④不正确．

=

＜2，

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因此只有①②正确． 故选：A．

6． 【答案】D 【解析】

1120142fff22017201720171220162016，故选D. 1 232015f...20172016f20171f 2017考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.

2【方法点睛】本题通过 “三次函数fxaxbxcxda0都有对称中心x0,fx0”这一探索

性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出fx性和的.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

7． 【答案】A

【解析】解：由f（x）=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x， 由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，

作出计算y=ex，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：

1315xx3x的对称中心后再利用对称3212

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∵函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b， 由图象知a＜1＜b， 故选：A．

∴y=ex与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．

8． 【答案】D

），向右平移

）+

]=tan（ωx+

）

【解析】解：y=tan（ωx+∴

﹣

ω+kπ=

个单位可得：y=tan[ω（x﹣

∴ω=k+（k∈Z）， 又∵ω＞0 ∴ωmin=．

故选D．

9． 【答案】B

【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中． 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUB）∩A， 又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}， ∵CUB={x|x＜3}，

∴（CUB）∩A={1，2}．

则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}． 故选B． 于基础题．

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【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属

10．【答案】D

【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，

其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2， 边AC上的高OB=1，PO=

为底面上的高．

×2+×2×1+2××

×

=

+1+

．

于是此几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=×故选：D

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

11．【答案】B 【解析】 试题分析：V168580,故选B. 3考点：1.三视图；2.几何体的体积. 12．【答案】C 【解析】1111]

试题分析：由直线方程L1:yx，可得直线的倾斜角为45，又因为这两条直线的夹角在0,0000，所以12直线L2:axy0的倾斜角的取值范围是3060且45，所以直线的斜率为

tan300atan600且tan450，即

考点：直线的倾斜角与斜率.

3a1或1a3，故选C. 3二、填空题

13．【答案】

连接MA，则|MA|=|MB|，

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=1 【解析】解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4，

∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，

故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1， ∴b=

，

=1． =1．

∴椭圆的方程为故答案为：

【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．

14．【答案】【

 4解

析

】

考

点：正弦定理．

【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是180，消去多余的变量，从而解出B角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.

15．【答案】 ±（7﹣i） ．

．

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴ 又ω=

=．

=

，|ω|=

，∴

2

把a=3b代入化为b=25，解得b=±5，∴a=±15．

∴ω=±

故答案为±（7﹣i）．

=±（7﹣i）．

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【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．

16．【答案】 ①④

【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）恒成立， ∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0恒成立， 即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）； ①f（x）在R递增，符合题意； ②f（x）在R递减，不合题意；

③f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意； ④f（x）在R递增，符合题意； 故答案为：①④．

17．【答案】 4 ．

【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=示，

由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4． 故答案为：4．

的图象与函数y=的图象，如下图所

18．【答案】

【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，

．

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故选：

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立， 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立， 则

解得﹣4＜m＜0

综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立， 即令﹣﹣﹣﹣

当 m＞0时，g（x）是增函数， 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0， 解得

．所以

恒成立．

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当m=0时，﹣6＜0恒成立． 当m＜0时，g（x）是减函数． 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0， 解得m＜6． 所以m＜0． 综上所述，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 题的关键．

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问

20．【答案】（1）S21sincos，其中02.（2）6时，Smax【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD的面积S关键是用表示上下底及高，先由图形得

33 2AOEBOF，这样可得高AB2cos，再根据等腰直角三角形性质得AD1cossin，

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BC1cossin最后根据梯形面积公式得S0ADBCAB221sincos，交代定义域

6，

2．（2）利用导数求函数最值：先求导数f'22sin1sin1，再求导函数零点列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值

试题解析：（1）连接OB，根据对称性可得AOEBOF且OAOB1， 所以AD1cossin，BC1cossin，AB2cos，

ADBCAB所以S221sincos，其中02．

考点：利用导数求函数最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由条件得f′（x）=﹣

（x＞0），

∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直， ∴此切线的斜率为0， 即f′（e）=0，有﹣

=0，得k=e；

（Ⅱ）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2恒成立…（*）

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设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减． 由h′（x）=﹣

22

﹣1≤00在（0，+∞）上恒成立，得k≥﹣x+x=（﹣x﹣）+（x＞0）恒成立，

∴k≥（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立）， 故k的取值范围是[，+∞）； （Ⅲ）由题可得k=e，

因为M∩P≠∅，所以f（x）＜在[e，3]上有解， 即∃x∈[e，3]，使f（x）＜成立，

即∃x∈[e，3]，使 m＞xlnx+e成立，所以m＞（xlnx+e）min，

令g（x）=xlnx+e，g′（x）=1+lnx＞0，所以g（x）在[e，3]上单调递增， g（x）min=g（e）=2e， 所以m＞2e．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，考查不等式存在性和恒成立问题的解决方法，考查运算能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】（1）由题意知，f(x)absinxcosx3(sinxcosx)(sinxcosx) 213sin2xcos2xsin(2x)……………………………………3分 2235xk令2k2x2k，kZ，则可得k，kZ.

23212125,k]（kZ）.…………………………5分 ∴f(x)的单调递增区间为[k1212第 16 页，共 19 页

23．【答案】

【解析】解：（I）∵函数f（x）=alnx+f′（x）=﹣

的导数为

，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），

∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （II）当x＞1时，不等式f（x）＞即（k﹣1）lnx+

，即为（x﹣1）lnx+

＞（x﹣k）lnx，

＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

，g′（x）=

+1+

=

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

令g（x）=（k﹣1）lnx+

2

令m（x）=x+（k﹣1）x+1，

①当≤1即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，

所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增， 则g（x）＞g（1）=0即f（x）＞②当

恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

）上单调递减，

＞1即k＜﹣1时，m（x）在上（1，

且m（1）＜0，故当x∈（1，）时，m（x）＜0即g′（x）＜0，

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所以函数g（x）在（1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当x∈（1，

）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

）时，g（x）＜0与题设矛盾，

综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

24．【答案】（1） hx101324x7 （3x7）（2） x4.3 x33试

题解析：（1） 因为fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比， 所以可设：fx则hxfxgxk12 ，gxk2x7，.k10，k20，x3k12k2x7则 ………………………………………2分 x3因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套

k14k221k1102所以，h521,h3.569，即，解得：， ……………6分

k44922kk691241024x7 （3x7） ………………………………………8分 所以，hxx31024x7， （2） 由（1）可知，套题每日的销售量hxx3第 18 页，共 19 页

答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值

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