临县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

临县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知角α的终边上有一点P（1，3），则

的值为（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣4

2x10的解集为（ ） 2． 奇函数fx满足f10，且fx在0，上是单调递减，则

fxfxA．1，1 C．，1

B．，11，

D．1，

3． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）

A．4 B．5 C．32 D．33 4． 设函数fxex2x1axa，其中a1，若存在唯一的整数，使得ft0，则的

取值范围是（ ） A．333333,1 B．, C．, D．,11111] 2e2e42e42e42*5． 已知集合A1,2,3,k,B4,7,a,a3a，且aN,xA,yB使B中元素y3x1和A中的元素

x对应，则a,k的值分别为（ ） A．2,3 B．3,4 C．3,5 D．2,5

6． 过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（ ） A．2x+y﹣5=0

B．2x﹣y+1=0

C．x+2y﹣7=0

D．x﹣2y+5=0

7． 平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A．α内有无穷多条直线与β平行

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B．直线a∥α，a∥β

C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α D．α内的任何直线都与β平行

8． 函数f（x）=﹣x的图象关于（ ） A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称

C．坐标原点对称 D．直线y=x对称

9． 已知直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能

10．在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足•

的最小值是（ ）

=（sin2θ）

+（cos2θ）

（θ∈R），则（

+

）

A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0

11．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x﹣3x+4

2

与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ） A．（﹣，﹣2]

B．[﹣1，0]

C．（﹣∞，﹣2]

D．（﹣，+∞）

12．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ） A．1

B．3

C．5

D．9

二、填空题

13．△ABC中，

14．下列四个命题：

①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面

其中正确命题的序号是 ．

15．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），求向量于__________. 17．给出下列命题： ①存在实数α，使

，BC=3，

，则∠C=

．

在方向上的投影．

16．在ABC中，已知sinA:sinB:sinC3:5:7，则此三角形的最大内角的度数等

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②函数③

是函数

是偶函数

的一条对称轴方程

④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ

其中正确命题的序号是 ．

18．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t= ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD.

（1）求证：PQ//平面SAD； （2）求证：平面SAC平面SEQ.

20．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）． （I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值； （II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足的最大值．

=

+

．若∠AOP=2θ，

表示|

|，并求|

|

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21．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题： （1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；

（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？

（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S的值． 序号 （i） 1 2 3 4 合计 分组 组中值 频数 频率 （分数） （Gi） [60，70） 65 [70，80） 75 [80，90） 85 [90，100） 95 （人数） （Fi） 0.10 ① 20 ③ ④ 50 ② 0.20 ⑤ 1 第 4 页，共 18 页

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22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为x2cosysin（为参数），过点P(1,0)的直线交曲线C于A、B两点.

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程； （2）求|PA||PB|的最值.

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23．（本题满分13分）已知函数f(x)（1）当a0时，求f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间[,2]上是增函数，求实数a的取值范围.

【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.

24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD外接于圆，AC是圆周角BAD的角平分线，过点C的切线与AD延长线交于点E，AC交BD于点F． （1）求证：BD12ax2xlnx. 213CE；

（2）若AB是圆的直径，AB4，DE1，求AD长

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临县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上， ∴tanα=3， ∴

故选：A．

2． 【答案】B 【解析】

2x12x102x1fx0，即整式2x1的值与函数fx的值符号相反，当试题分析：由

fxfx2fxx0时，2x10；当x0时，2x10，结合图象即得，1====﹣．

1，．

考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 3． 【答案】D 【解析】

试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图AD,AB,AG相互垂直，面AEFG面

ABCDE,BC//AE,ABADAG3,DE1,根据几何体的性质得：AC32,GC32(32)2 2733,GE32425，BG32,AD4,EF10,CE10,所以最长为GC33．

考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 4． 【答案】D 【解析】

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考

点：函数导数与不等式．1

【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令fx0将函数变为两个函数gxex2x1,hxaxa，将题意中的“存在唯一整数，使得gt在直线hx的下方”，转化为存在唯一的整数，使得gt在直线hxaxa的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m的取值范围.

5． 【答案】D 【解析】

a4331a43k1试题分析：分析题意可知：对应法则为y3x1，则应有2（1）或2（2），

a3a3k1a3a331a2*由于aN，所以（1）式无解，解（2）式得：。故选D。

k5考点：映射。 6． 【答案】A 【解析】解：联立∴交点为（1，3），

过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点， 与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0， 把点（1，3）代入，得：2+3+c=0， 解得c=﹣5，

∴直线方程是：2x+y﹣5=0， 故选：A．

7． 【答案】D

，得x=1，y=3，

【解析】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．

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当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选 B．

当直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β 时，直线a 和直线 b可能平行，也可能是异面直线，故不选 C．

当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行， 故选 D．

【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．

8． 【答案】C

【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x） ∴

是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称

故选C．

9． 【答案】D

【解析】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AA1∩平面ABCD=A，BB1∩平面ABCD=B，AA1∥BB1； AA1∩平面ABCD=A，AB1∩平面ABCD=A，AA1与AB1相交； AA1∩平面ABCD=A，CD1∩平面ABCD=C，AA1与CD1异面．

∴直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面． 故选：D．

10．【答案】 C 【解析】解：∵∴即可得

=（sin2θ）+（cos2θ）﹣

），

+（cos2θ）=

（θ∈R），

﹣

），

22

且sinθ+cosθ=1，

=（1﹣cos2θ）﹣

=cos2θ•（

，

=cos2θ•

+cos2θ•（

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2

又∵cosθ∈[0，1]，∴P在线段OC上，

由于AB边上的中线CO=2， 因此（可得（故选C．

【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．

11．【答案】A

2

【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，

++

）•）•

=2 +

•）•

，设|

|=t，t∈[0，2]，

=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，

的最小值等于﹣2．

∴当t=1时，（

2

故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，

故有故选A． 基础题．

12．【答案】C

，即

，解得﹣＜m≤﹣2，

【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于

【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C．

二、填空题

13．【答案】 【解析】解：由根据正弦定理

=

，a=BC=3，c=得：

，

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sinC==，

又C为三角形的内角，且c＜a， ∴0＜∠C＜则∠C=

．

，

故答案为：

【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．

14．【答案】 ③ ．

【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误； ②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误； ③过两平行直线有且只有一个平面，正确；

④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误， 故正确命题的序号是③，

故答案为：③

15．【答案】

【解析】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4）， ∴向量∴向量

=（1+1，2﹣1）=（2，1）， 在=

16．【答案】120 【解析】

方向上的投影是

=

．

=（3+2，4+1）=（5，5）；

考

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点：解三角形．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据

sinA:sinB:sinC3:5:7，根据正弦定理，可设a3,b5,7，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，

熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键． 17．【答案】 ②③ ．

【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[错误， ②函数③当

时，

，]，∵

=cosx是偶函数，故②正确，

=cos（2×

+

错误，故①

＞，∴存在实数α，使

）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则

是函数

的一条对称轴方程，故③正确，

④当α=

，β=

，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，

故答案为：②③．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．

18．【答案】 0或1 ．

22

【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t﹣t+1=﹣3①t﹣t+4=0，①无解

2

或t﹣t+1=0②，②无解

或t﹣t+1=1，t﹣t=0，解得 t=0或t=1．

2

2

故答案为0或1．

【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．

三、解答题

19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中点F，连结AF,PF，可证明PQ//AF，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明AC平面SEQ，即平面SAC平面SEQ.

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试题解析：证明：（1）取SD中点F，连结AF,PF. ∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且FP∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，

1CD. 21CD，即FP//AQ且FPAQ. 2∴AQPF为平行四边形，则PQ//AF.

∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD.

∴AQ//CD，且AQ

考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 20．【答案】

【解析】

解：（Ⅰ）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．

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可得sinα=，cosα=，∴cosα+sinα=． =

=（1+cos2θ，sin2θ）， =2|cosθ|，因为

，

（Ⅱ）因为P（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以所以所以|

==2|cosθ|∈

．

，

=

|的最大值

【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．

21．【答案】

【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5， ②中的值为

=0.40，③中的值为50×0.2=10，

=0.30；

④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为（2）不低于85的概率P=

×0.20+0.30=0.40，

∴获奖的人数大约为800×0.40=320； （3）该程序的功能是求平均数，

S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82， ∴800名学生的平均分为82分

1x2y21.（2）|PA||PB|的最大值为，最小值为. 22．【答案】（1）

22【解析】

试

题解析：解：（1）曲线C的参数方程为x2cosysin（为参数），消去参数

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x2y21 （3分） 得曲线C的普通方程为2x1tcosx1tcosx2y21 （2）由题意知，直线的参数方程为（为参数），将代入2ytsinytsin得(cos22sin2)t22tcos10 （6分）

111[,1]. 设A,B对应的参数分别为t1,t2，则|PA||PB||t1t2|222cos2sin1sin21∴|PA||PB|的最大值为，最小值为. （10分）

2考点：参数方程化成普通方程． 23．【答案】

【解析】（1）函数的定义域为(0,)，因为f(x)12ax2xlnx，当a0时，f(x)2xlnx，则2111.令f'(x)20，得x.…………2分 xx2所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下表：

111x (0,) (,) 222f'(x) 0 － ＋ f'(x)2f(x) 所以当x↘ 极小值 ↗ 11时，f(x)的极小值为f()1ln2，函数无极大值.………………5分

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24．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．

∴

DEDCBC2，则BCABDE4，∴BC2． BCBAAB

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1AB，∴BAC30，∴BAD60， 21∴在RtABD中，ABD30，所以ADAB2．

2∴在RtABC中，BC

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