学术论坛 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａ—ｔｉｏｎ ＨｅｒａｌｄＢ题回阉■誓ｌ ■ 巨 ■ｉ 蠢ｌ 一 一类广义积分的计算 高瑞平’ 沈玲 宋从芝。 何尚琴’ （１．；－．－ｉ：ＩＬ科技师范学院数理系河北秦皇岛０６６００４；２欧美学院河ｊｋ秦皇岛０６６００４； ３．河北工业职业技术学院基础部 河北石家庄０５００００；４．燕山大学经济管理学院 河北秦皇岛０６６００４） 摘要：无穷限广义积分是积分学的一个难点内容。文章对无穷限广义积分 ｆｍｅ－ｌｄｔ， ∈ｚ ）的计算方法进行提炼总结，是初等方法 的一个补充，具有很大的实用价值。 关键词：无穷限积分 ｒ一函数Ｌａｐｌａｃｅ变换 终值定理 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—０９８Ｘ（２００８）１０（ａ）一０２４１～Ｏ１ 无穷限广义积分是指无穷区间上的广义积分。对于无穷限广 义积分的计算，一般采用极限与定积分相结合的方法，但这种方法 ￣ＯＥ ｔ３ｅ－ｔｄｔ：３ 这种方法对于 ＞一１的情况都适用，相对来讲应用广泛一些。 只适用于少数几类广义积分。对于ｌ ｇ ｄｔ， ，§ｇ霆）的计算则 需要根据 ，／３的取值来确定。例如ａ＝Ｏ当时，根据高等数学中计 ４利用￡ ｃ嗖换的积分性质求解 算广义积分的方法可知其结果分两种情况：３＜０时，此积分收敛于 ∞ ， 、 素，§≥０时，此积分发散。文章对无穷限积分｝ ｔｅｒｅ一 ｄｔ， ∈Ｚ 变换的鼢 批 ￡ 胁 。 的计算进行提炼总结。 特别 果积分ｆ 存在 ＝ 。 １用广义积分定义求解 定义：设函数ｆ（ ）在区间［ａ，。。）上连续，如果极限 南 蜘 Ｇ ＜ 存在，就称此极限值为 ）在［ｎ，ｏ。）上的广义 ＝ ＿ｔ４ｅ－ｔ 一 积分，记作ｆ厂 ：： 。 对于 ｆ ｄｔ， ∈Ｚ ），取ｍ一３，得 这种方法在工程数学中有很大的实用价值。 一 ‘ 口 ＋ ｆ３≠２ｅ－＊ｄｔ ５利用Ｌａｐ／ａｃ￣换积分性质的推广结论 ３ ｔＺｅ－￣ｄ 若五 ＝Ｆ ），且Ｆ（ ）在胎（ ）≥０的半平面上解析，且 （ ’ ）＝ ｌ 厂 出＝ ｌ 三｛ （ｆ磅， 则 －３ｔｉｍ￣ｔ。 ） ≠ １ Ｆ ’ 一３ 《２ｅ－ｔ）［ｏ＋６熙 ｄｔ 一６规 ｆｄ（ｅ－＊） 由于五 ｅ ｔ １ … ６熟 ｄｔ 这种方法可以解决形如１ ｆ ， 型的广义积分。 ＝６＝３ １ 这种方法只适用于ｍ较小的此类积分，对于ｍ较大时，计算 ６利用Ｌａｐｌａｃｅ＇￣换的终值定理求解 过程太过麻烦。 由Ｌａｐｌａｃｅ变换的积分性质和终值定理可得：如果 ￡ ）］ ），且Ｆ（ ）在Ｒｅｓ（ ）≥０的半平面内解析，则 ２利用函数计算 积分＿ｆ ）＝ ｆ－￣ｅ－＇出 ＞ｏ）是参变量ａ的 数，称为ｒ函 ｏ数。这个无穷限积分是收敛的。Ｆ函数有这样的性质： ＹＳＯ），＝ ＝ ］＝ ）。 ｒ ＋１） 伐Ｆ（ ）（ｏ【＞ｏ），当时口∈Ｚ＋， （ ＋１）＝群！ 由于啦 ］｝＝南删 两３ｌ 当ｍ＝３时， ｆ３．ｏ －ｔ ＝ｒ（４）＝３ １这种方法只有记清楚ｒ函数 当然，求无穷限积分的方法还有很多，以上几类方法适用于不 的定义时可用，否则就得采用其他方法。 同的情况，也有其局限性，但是它们对于那些用初等方法难以解决 的适当类型的无穷限积分有很好的应用。 ３利Ｌａｐｌａｃｅ＇￣换定义求解 参考文献 定义：设函数 当ｆ≥ｏ时有定义，而且积分ｄｔ（ 是一 ［１】张元林．积分变换【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００３． ． 个复参量）在Ｓ的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为 ［２】李景和．用工程数学知识求广义实积分的值［Ｊ］．天津电大学 ） ｆｓ＠－ ｄｔ． 称为函数，（ｒ）的 ａｐｌ ｃｅ变换，记作 报，２００２，（３）：２１—２３． 【３］余海洋．用Ｌａｐｌａｃｅ变换求一类无穷限积分【Ｊ】．成都理工大学 ）＝五 ）］，其中 １（ ）称为 ｆ）的象函数， 称为 ）的象原函数。 学报，２００６，（２）：２ｌ８－２２０． 令定义中的 贝屹【。 ｄ，＝Ｆ ）＝ ， ［４】赵树嫡．微积分［Ｍ】．中国人民大学出版社，２００７，６． 科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ ２４１
