厦门市2018-2019学年度第一学期高一年级质量检测
数学试题
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A.
B.
，集合 C.
D.
，则
（ ）
【答案】A 【解析】 【分析】
根据交集的定义即可求出A∩B．
【详解】∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={-1，0，1}． 故选D．
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题. 2.函数A.
B.
C.
的定义域为（ ）
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
使函数有意义的x满足
【详解】使函数有意义的x满足故选B.
【点睛】本题考查了具体函数定义域，属于基础题. 3.已知角的终边经过点A.
B.
C.
，则 D.
的值为（ ） 解不等式组即得解.
解得
即函数
的定义域为
.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据三角函数定义=可得结果.
，所以
，所以
==.故选A.
【详解】角的终边经过点
【点睛】本题考查了三角函数定义，已知角的终边上一点的坐标即可求得各种三角函数值，属于基础题.
4.某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.
【详解】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：
满足题意.故选C.
【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题. 5.化简
的结果为（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】
由对数的运算性质即可得解. 【详解】
=
=2-2=0.故选A.
【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题. 6.已知
是圆的一条弦，
，则
的值为（ ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 与圆的半径有关 【答案】C
【解析】 【分析】
是圆的一条弦,所以【详解】
与
共线同向，所以
与
=|
||
=||=||
即可得解. |=
=2.故选C.
是圆的一条弦,所以共线同向，所以
【点睛】本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题. 7.已知A.
B.
，则 C.
的值为（ ） D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可． 【详解】
可得cos
=1-2
,所以
= cos
=.故选D.
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的二倍角公式，诱导公式进行化简是解决本题的关键，属于基础题．
8.函数，若实数满足，且，则下列结论不恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
结合函数的图象，逐个进行分析即可得解.
【详解】函数的图象如下：
可得可得
=即=0,所以
,即
=0,故A对； ，所以
，
，故B对；由图象可知
可知D不恒成立. 故选D.
，所以，所以1<<,,故，故C对；通过选项排除
【点睛】本题考查了函数与方程，对数运算性质，数形结合能更有效的解决问题，属于中档题.
二、多选题（每题5分，满分10分，将答案填在答题纸上）
9.已知函数A. C.
【答案】ABC 【解析】 【分析】
逐一分析各选项即可；A：写出写出【详解】函数A:
B：因为函数
=
,
为增函数，所以
即可得解.
，
故A对；
，
，则
在
上恒成立，所以
，
即可解决；B：判断
与
的单调性即可；C：写出
即可得解；D：
， D.
，
B.
，则
，，
满足（ ）
在
C：
递增，又
，所以，即
，故C对；
故B对；
D：故选ABC.
，故D错；
【点睛】本题考查了函数的基本性质：奇偶性，单调性，熟练掌握各种初等函数的性质是关键，属于难题. 10.已知函数A. C. 若【答案】BD 【解析】 【详解】函数A:当x=0时，B：C：D：因为
时，
恒成立，故D对；
故选BD.
【点睛】本题考查了三角函数的综合性质，对称性，单调性，最值等，利用整体思想进行求解分析是关键,属于难题.
=1，，当
=1+，故A错；
时，对应的函数值取得最小值为-1，所以B正确； 所以函数
,又
在
不单调，故C错； 即2
，所以
B. ，则
，则下列说法正确的是（ ） 的图像关于 D. 若
对称
，则
，所以
三、填空题 （本大题共6小题，共30分.）
11.已知【答案】【解析】 【分析】
得出
，由
可得
,进而可求
.
，
，则
________.
【详解】得出，因为，所以=-，所以 =.故答案为.
【点睛】本题考查了诱导公式的应用，同角关系基本公式的应用，属于基础题. 12.已知集合【答案】【解析】 【分析】 若【详解】若故答案为
则A⊆B，根据集合
则A⊆B，又集合
，集合
，集合
，即可得出实数的取值范围.
，所以
.
，集合
，若
，则实数的取值范围是_______.
【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题. 13.设【答案】【解析】 【分析】
利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可． 【详解】案为<
.
=sin,
=sin(-)=sin> sin==，所以<
<1,又
=
=<,所以<
.故答
，
，
，用“<”把
排序_______.
【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键．
14.方格纸中向量
，如图所示，若
，则
_______.
【答案】3 【解析】 【分析】
选取基底，把，用基底表示，结合平面向量基本定理即可列方程求解.
,则
，
,
【详解】由已知正方形网格中，设边长为1，设互相垂直的单位向量为
=(所以
)+(
)=(
)+(3 所以
),
.故答案为3.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理，选好基底是关键，属于基础题．
15.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数中表示燕子的耗氧量的单位数，记【答案】16 【解析】 【分析】 把
代入函数解析式，列出方程，利用对数的性质，即可计算O2是O1的多少倍．
，5=
，则解得
，故
是
的16倍.故答案为16.
时耗氧量为
，
时耗氧量为
，则
是
，单位是
，其
的_________倍.
【详解】
【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 16.如图，矩形
关于轴对称，其三个顶点
恰好分别落在函数
、
、
的图像上，若点的
横坐标大于1，则点的坐标为_______.
【答案】【解析】 【分析】 设出点A（m,
）, 矩形及三个顶点上，设出点A（m,）,则点D（m，
所在的函数方程即可得到关于m的方程即可求得点的坐标. ），根据
恰好分别落在函数
、
的图像上，则可得点，又点的横坐标
【详解】顶点在函数B（
），点C（
），因为矩形关于轴对称，所以
大于1，所以>1,故m=2,所以点D（2，-4）.故答案为（2，-4）.
【点睛】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，属于基础题．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数的一个对称中心为，其图像上相邻两个最高点间的距离为.
（1）求函数的解析式；
在一个周期内的图像，并写出函数
的单调递减区间.
（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数【答案】（1）【解析】 【分析】 (1)因为为
，
的图像上相邻两个最高点的距离为，所以
因为
的对称中心
，
；（2）
的最小正周期，由此得因为的对称中心
在一
，求得，即可得解；（2）由“五点作图法”找出函数
的单调递减区间.
个周期内的五个关键点，列表，描点，作图，即可得出函数【详解】（1）因为所以由因为所以又因为
的最小正周期和
，可得的对称中心为
，，所以
的图像上相邻两个最高点的距离为，
，
，，即
，
，所以函数的解析式为.
（2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表如下：
由所以函数
的单调递减区间是
，可得
.
，
【点睛】本题考查三角函数性质，由周期，对称性得出解析式，考查五点作图法，是中档题． 18.已知函数（1）判断函数（2）函数
若没有零点，说明理由. （参考数据：
，
，
，
，
，
）
. 在区间
上的单调性，并用定义证明； 在区间
内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确到0.3）；
【答案】（1）见解析；（2）有，【解析】 【分析】
（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f（x）在区间点存在性定理得出连续函数【详解】（1）函数设则所以故函数（2）又因为所以连续函数
在区间， 在区间
上是增函数. 是增函数，
，
上有且仅有一个零点
，
，且
在区间
，
，
在区间
上的单调性．（2）结合函数单调性，由零
上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）.
上是增函数，
因为所以又因为所以又
，所以
零点的近似值为
.
，
，
【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题. 19.如图，平行四边形记
，
.
中，
，
，
，点
分别为
边的中点，
与
相交于点，
（1）用（2）若
表示，并求；
，求实数的值.
；（2）
【答案】（1）【解析】 【分析】 （
1
）
由
向
量
加法表示，
;2）代入各值即可得解（因为
平方求得，
与共线，设，则表示，，由得出方程，即可
解出.
【详解】（1）由图形可知因为
所以（2）因为
，
与
共线，
设由于因为即
，所以
，则
则，解得，所以
【点睛】本题考查了向量的加法法则，求向量的模，向量共线定理和平面向量基本定理，属于中档题. 20.如图，点
在以原点为圆心的单位圆上，记锐角
，点从开始，按逆时针方向以角速度
的函数为
.
在圆上做圆周运动，经过到达点，记的纵坐标关于时间
（1）求实数的值； （2）求函数
【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】
（1）根据题意，结合图象，由任意角的三角函数的定义求得y=f（t）的表达式,即可求得知，域.
【详解】（1）由题意，点是又
时，
，即
，则
的终边与单位圆的交点，由任意角的三角函数的定义，知
，得
，即
,此时
.
，则
，所以化简
的值；（2）由（1）
上的值
在区间
上的值域.
即可求得在
（2）由（1）知，
所以
由故函数
，得
在
，上的值域为
.
，从而
【点睛】本题考查了三角函数的应用，求函数y=Asin（ωx+）的解析式，三角函数定义及两角和的正弦公式，求三角函数y=Asin（ωx+）在给定区间的值域，属于中档题.
21.医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度间
的变化情况（如图所示）：当
时，与的函数关系式为
（为常数）；当
随时
时，与的函数关
系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最
低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险. （1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？
（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物? （参考数据：
，
）
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）当
时，
小时；（2）见解析
，函数图像过点，求出，进而求出t=1时，所以当时，，
函数图像过点为，当
，求出m,解指数不等式求出t的范围即可；（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度时，
时，
，根据单调性，解得x=1即得解. ，函数图像过点
，
【详解】（1）当
所以所以当当所以由
，得时，时，，所以
，得
，函数图像过点
，所以
小时.
则药物有疗效时间为
（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为 当
时，
内单调递增，
因为函数在所以当当因为
时，
时，
，所以首次服药后1小时，可以立即再次服用同等规格的药物.
【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，给出函数模型进行求解，中间涉及指数方程和指数不等式解法，利用函数单调性是关键，属于中档题. 22.已知函数
（1）求实数的值； （2）当
时，函数
存在零点，求实数的取值范围； ，若函数；（3）
与
的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
是偶函数.
（3）设函数
【答案】（1）1；（2）【解析】 【分析】 （1）函数
是偶函数, 所以
存在零点，即关于的方程
得出值检验即可；（2）
有解，求出
因为时，
的值域即可；（3）有且只有一个解，所以
因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程
，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为是上的偶函数，
所以解得
，即，经检验：当
，所以
时，满足题意.
存在零点， 有解，
（2）因为因为
时，
即关于的方程
令，则
因为，所以，所以
.
，
所以，实数的取值范围是（3）因为函数所以关于的方程所以令①当②当③当
，得
时，方程（*）的解为时，函数时，
与
的图像只有一个公共点，
有且只有一个解，
（*），记
，不满足题意，舍去；
，
图像开口向上，又因为图像恒过点
且
时，解得满足题意. .
，方程（*）有一正一负两实根，所以
，
符合题意；
方程（*）有两个相等的正实根，所以综上，的取值范围是
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题.
