(完整版)惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
截面图形的几何性质
一. 要点及难点：
( 一). 截面静矩和形心
1.静矩的定义式
如图 1 所示随意有限平面图形，取其单元如面积
dA ，定义它对随意轴的
dA
一次矩为它对该轴的静矩，即
dSy
xdA
y
dSx ydA
x
整个图形对 y、 z 轴的静矩分别为
Sy
x
×C y
xdA
A
Sx
ydA
A
（ I-1）
0
A
y
x
2.形心与静矩关系
图 I-1 0
设平面图形形心 C 的坐标为 yC , zC 则
y
Sx A
， x
Sy A
（ I-2）
推论 1 假如 y 轴经过形心（即 x 0 ），则静矩 Sy 0 ；同理，假如 x 轴 经过形心（即 y 0 ），则静矩 Sx 0 ；反之也建立。
推论 2 假如 x、 y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；假如 y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心
设截面图形由几个面积分别为
A1 , A2 , A3
An 的简单图形构成， 且向来
各族图形的形心坐标分别为 x1 , y1； x2 , y2； x3 , y3 ，则图形对 y 轴和 x 轴
的静矩分别为
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n
Sy
S
n
yi
i 1 n
Ai xi Ai yi
i 1
i 1 n
（I-3 ）
Sx
i 1
Sxi
截面图形的形心坐标为
n
n
Ai xi i 1
n
Ai yi y
i 1
n
x
，
Ai
（I-4 ） Ai
i 1 i 1
4.静矩的特点
(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的， 故静矩与坐标轴相关。
(2) 静矩有的单位为 m3 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对随意形心轴的静矩必然
为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零， 则该轴必经过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。 则可由式（ I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（ I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心地点，往常是先由式（ I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，而后由式（ I-4）求出其形心坐标。
（二） .惯性矩 惯性积 惯性半径
1. 惯性矩
定义 设随意形状的截面图形的面积为
A （图 I-3），则图形对 O 点的极
惯性矩定义为
I p
A
2
dA
（I-5 ）
图形对 y 轴和 x 轴的光性矩分别定义为 I y
x 2 dA ，
A
I x
A
y 2 dA
（I-6 ） 惯性矩的特点
（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的； 轴惯性矩是对某一坐
标轴定义的。
（2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为 m 4 。
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（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正当。
（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值， 恒等于图形对以该点为坐标原
点的随意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即
I p
2
A
dA
A
(x 2 y 2 ) dA I y I x
（I-7 ）
（5） 组合图形（图 I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，
分别等于各族纷繁图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之
和，即
I
y
n i 1
I
i
， I
y
n i 1
I
yi
， Ix
n i 1
I xi
（ I-8）
x1
C1
C 2
A2
Cn yn
Any1 y2
A1 y
x
x2
dA y
xn
0
x
x 0
图 I-2
图 I-3
2. 惯性积
定义
设随意形状的截面图形的面积为 A（图 I-3 ），则图形对 y 轴和
x 轴的惯性积定义为
I
xy
A
xydA
（I-9 ）
惯性积的特点
（1） 界面图形的惯性积是对互相垂直的某一对坐标轴定义的。
（2） 惯性积的单位为 m4 。
（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有
一轴为图形的对称轴， 则图形对这一对称轴的惯性积必等于
零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重
且不必定有图形的对称轴。
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（4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，
等于各组分图形对同一
坐标轴的惯性积之和，即
I
n
xy
I
1
xyi
（I-10）
i
3. 惯性半径
定义： 随意形状的截面图形的面积为 A （图 I-3 ）,则图形对 y 轴和 x 轴的惯性半径分别定义为
i y
I y A
， i x
I x A
（I-11） 惯性半径的特点
（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的。
（2） 惯性半径的单位为 m。
（3） 惯性半径的数值恒取证之。
（三） .惯性矩和惯性积的平行移轴公式
平行移轴公式
I x I y
II
xC
a2 A
（I-12）
yC
b2 A abA
I
xy
I
xCyC
（ I-13） 平行移轴公式的特点
（1）意形状界面光图形的面积为
A （图（ I-4 ）； xC， yC 轴为图形的形
a 和 b 的平行轴。
心轴； x，y 轴为分别与 xC， yC 形心轴相距为
（ 2）两对平行轴之间的距离 a 和 b 的正负，可随意选用坐标轴 x，y 或形
心 xC ， yC 为参照轴加以确立。
（ 3）在全部互相平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不必定是最小。
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y
yC
dA
b
C
xC
a
0
图 I-4
x
( 四) 、惯性矩和惯性积的转轴公式 . 主惯性轴主惯性矩
转轴公式
I
x 1
I x
I y I x I y cos2
2 2 I y I x I y cos 2
2 2
I y 2
sin 2
I xy sin 2
I
y 1
I x
I xy sin 2
I x1y1
I x I xy cos2
转轴公式的特点
(1)
(2)
(3)
角度 的正负号，从原坐标轴 x,y 转至新坐标轴 x1 , y1 ，以逆时针转向者为正（图 5）。
原点 O为截面图形平面内的随意点，转轴公式与图形的形心没关。
图形对经过同一坐标原点随意一对互相垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即
I
x
I
y
I x1 I y1 I P
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主惯性轴、主惯性矩
随意形状截面图形对以某一点
x0 y0
O为坐标原点的坐
标轴 x0 、 y0 的惯性积为零（ I
0），则坐标轴 x0 、 y0 称为图形经过
I x0 , I y0 ，称为
点 O 的主惯性轴 ( 图 6) 。截面图形对主惯性轴的惯性矩
主惯性矩。
主惯性轴、主惯性矩确实定
(1) 关于某一点 O，若能找到经过点 O 的图形的对称轴，则以点 O
为坐标原点，并包括对称轴的一队坐标轴，即为图形经过点 O 的一对主惯性轴。 关于拥有对称轴的图形 （或组合图形），常常
已知其经过自己形心轴的惯性矩。于是，图形对经过点
o 的主
惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。
(2)
若经过某一点 o 没有图形的对称轴，则能够点 o 为坐标原点， 任作一坐标轴 x，y 为参照轴，并求出图形对参照轴
x，y 的惯
性矩 I x , I y 和惯性积 I xy 。于是，图形经过点 o 的一对主惯性轴方
位及主惯性矩分别为
tan2
0
2I xy I x I y
2
（I-16 ）
2
I x0 I x I y
I x
I y 2
I
I
xy
(I-17)
y 0
2
主惯性轴、主惯性矩的特点
（ 1）图形经过某一点 O起码拥有一对主惯性轴， 而主惯性形势
图形对经过同一点 O全部轴的惯性矩中最大和最小。
（ 2）主惯性轴的方向角 0 ，从参照轴 x，y 量起，以逆时针转向
为正。
（ 3）若图形对一点 o 为坐标原点的两主惯性矩相等， 则经过点
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o 的全部轴均为主惯性轴，且全部主惯性矩都同样。
（ 4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴， 称为形心主惯性
轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。
y
y y1 x1 y0
x0
0
x
A
0
0
x
图 I-5
图 I-6
二 .典型例题剖析
例 I-a 试计算图示三角形截面关于与其底边重合的
x 轴的静矩。
解：计算此截面关于 x 轴的静矩 Sx 时，能够去平行于 x 轴的狭长条 (见图 )作为面 积元素（因其上各点的 y 坐标相等），即 dA b( y)dy 。由相像三角形关系，可知 : b( y)
b
( h y) ,所以有 dA ( h y) dy 。将其代入公式（ I-1）的第二式，即得 h h
ydA
h
b
Sx
A
b
( h y) dy b ydy
0
h
b h h 0
y dy
2 bh 2 6
0
h
y
dy
h
b(y)
y
0
b
例题 I-a 图
解题指导 ：本题为积分法求图形对坐标轴的静矩。 x
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例 I-2 试确立图示Ⅰ -b截面形心 C 的地点
解：将截面分为 ?、 П两个矩形。为计算方便，取 x 轴和 y 轴分别与界面的底边 和左侧沿重合（见图）。先计算每一个矩形的面积 Ai 和形心坐标（ xi , yi ）以下： 矩形 ?
A
10 120 1200 mm2
x
10 2
5mm
， y
120 2
60mm
矩形 П
A 10
70 700mm2
2 2
将其代入公式（ I-4），即得截面形心 C 的坐标为
x 10
70
45mm ， y
10
5mm
x
A x A x
37500 1900 75500 1900
20mm
y
A A
A y A y
40mm
A A
计算不规则图形的形心。
解题指导 ： 本题是将不规则图形区分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心，
y 10
?
120
·
x
y
Ⅱ
·
10
x x
80 图Ⅰ-b
例 I-3 试求图 I-c 所示截面关于对称轴
x 轴的惯性矩 I x
解：此截面能够看作有一个矩形和两个半圆形构成。 设矩形关于 x 轴的惯性矩为
I x ，每一个半圆形关于
x 轴的惯性矩为 I x ，则由公式（ I-11）的第一式可知， (完整版)惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
所给截面的惯性矩：
I x I x 2I x （1）
矩形关于 x 轴的惯性矩为：
I x
d (2a) 3 12 80 2003
12
5330 104 mm4
（2） 半圆形关于 x 轴的惯性矩能够利用平行移轴公式求得。 为此，先求出每个半圆形关于与 x 轴平行的形心轴 xC （图 b）的惯性矩 I xC 。已知半圆形关于其底边的惯
性矩为圆形对其直径轴 x （图 b）的惯性据之半，即 I x
d 4 。而半圆形的面积 128
为 A
（图 b）。故由平行移轴公式（ I-10a）， d 2 ，其形心究竟边的距离为
8 3
xC 的惯性矩为：
2d能够求出每个半圆形对其自己形心轴
I
xC
I x
( 2d ) 2 A
3
d 128
4
( 2d ) 2 d 2 3
8
（3）
2d
由图 a 可知，半圆形形心到 x 轴距离为 a 半圆形关于 x 轴的惯性矩为：
I x
，故在由平行移轴公式， 求得每个
3
2 d 2I xC
(a
2d 2 3
) A
d 4 128
2d
(
)
(a)
2d 3
2 d 23
8
8
d 2 d 2
(
a 2 2ad
)
4 32 2 3a
将 d=80mm、 a=100mm （图 a）代入式（ 4），即得
I x
(80) 4
2
( 80 100 32 2
2 2
2 100 803
)3460 104 mm4 将求得的 I x 和 I x 代入式（ 1），便得
I x 5330 104 2 3460 10 4 12250 10 4 mm4
解题指导 ： 本题是将不规则图形区分为若干个规则图形，利用已有的规则图形的面积、形心及对自己形心轴的惯性矩，联合平行移轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。
(完整版)惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
图 I-c
40
a=100
a
2d 3
x
2d 3
d 图 I-c
xc x 100
40
d=80
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常用截面惯性矩计算公式
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