江苏省徐州市2020_2021学年下学期高二期末考试数学试题(含答案)

四、解答题：本题6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21x22，…1分17．（1）因为fx3xxx3所以f(1)1，……………………………………………………………………2分又因为f(1)1，所以所求的切线方程为y11(x1)，即xy20．……………………………………………………………………4分（2）f(x)的定义域为(0,)．由f(x)0，得x2，由f(x)0，得x2，……………………6分故f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，……………………8分11ln2(1ln2)，无极大值．………10分2218．（1）女生全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个元素，再和5个男生全排，36

A64320种；…………………………………………………………3分故有A3

（2）女生必须全分开，先排男生，在形成的6个空中，插入3名女生，53

A614400种；…………………………………………………………6分故有A5

（3）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照3

336种，……………………………………………9分固定顺序排列，故有A8

所以f(x)存在极小值为f(2)35

A5720种.…………12分（4）三个女生站在前排，五个男生站在后排，故有A3

19．（1）选①，二项式(x2n

)的展开式的第r1项为x2rn

r

n5r2Tr1Cxrn

nr22xr

2r

C2x，4Cn2456

因为展开式中第5项的系数与第3项系数之比为56:3，所以22，Cn23数学试题第1页（共4页）44Cn56n2n356，解得n10；…………………………4分则2，即Cn333选②，展开式中前三项的系数之和为201，4n(n1)012

2Cn4Cn12n2n21201，所以Cn

2解得n10.…………………………………………………………………………4分选③，展开式中第三项为T22C2x3n所以n2

2x4Cx4

n240，解得n10.……………………………………………4分2r

2r最大，（2）设第r1项系数最大，即C10

rr1

C102r≥C102r1即rr，…………………………………………………………6分r1r1

C2≥C21010

2

n

n2

42，10r12≥1r即，10r1≥2r11922解得≤r≤，………………………………………………8分33又因为rN，所以r7，……………………………………………………10分即系数最大的项为第，T15360x2.8

20．（1）据题意，填写列联表如下：分数不低于120分线上学习时间不少于5小时线上学习时间不足5小时合计30205025

…………………………………12分分数不足120分102030合计404080……………………………………………………………2分假设H0：“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间没有关系”，n(adbc)280(30202010)25.3333.841…4分(ab)(cd)(ac)(bd)40405030故有95%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”．……6分（2）因为学生成绩XN(123，49)，所以123，7，…………………8分1P(X)因为P(X≥130)P(X≥)210.68270.31730.15865，…………10分222数学试题第2页（共4页）所以10000.15865158.65159，故全年级本次考试成绩不低于130分的同学大约有159人．……………………12分21．（1）设第一关回答的4道题目中恰有3道正确为事件A，第二关回答的4道题目全正确为事件B；第一关回答的4道题目都正确为事件C，第二关回答的1道题目正确为事件D，获得“党史学习优秀奖”为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD)，且AB与CD互斥，…………1分11113313

()()4()4所以P(E)P(AB)P(CD)C4.…………………4分22222（2）X的可能取值为8，10，16.1111313

P(X8)1C4()()4，2221611P(X10)()4，21611313

P(X16)C4()，224所以X的分布列为：XP81016111611614………………………………………10分（说明：每个概率2分）111181故E(X)81016.1618………………………………………12分22．（1）函数的定义域为R，由f(x)exax，得f(x)exa，①当a≤0时，a≥0，又因为ex0，所以f(x)0恒成立，此时f(x)在(1，)上单调递增；②当a0时，由f(x)0得，xlna，由f(x)0得，xlna，（i）当0a≤e时，lna≤1，此时f(x)在(1，)上单调递增；（ii）当ae时，lna1，所以当x(1，lna)时，f(x)0，当x(lna，)时，f(x)0，此时f(x)在(1，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增；综上，当a≤e时，f(x)在(1，)上单调递增；当ae时，f(x)在(1，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增；…………2分（若只从a≤e和ae讨论，结论正确同样给分）（2）由（1）知，当ae时，f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增，所以xlna是函数f(x)的极小值点，因为ae，所以lna1，从而f(lna)elnaalnaa(1lna)0，…………3分数学试题第3页（共4页）又因为f(0)1>0，所以f(x)在(，lna)上有且仅有一个零点x1，且x1(0，lna)，……………4分又f(a)eaa2，令g(x)exx2(xe)，g(x)ex2x，g(x)ex20，所以函数g(x)在区间(e,)上单调递增，且g(e)ee2e0，即g(x)0，所以函数g(x)在(e,)单调递增，所以g(x)g(e)eee20，所以f(a)0，令h(x)xlnx(xe)，则h(x)110，所以函数h(x)在(e,)单调递增，x所以h(x)h(e)e10，所以当ae时，alna，所以f(x)在(lna，)上有且仅有一个零点x2，且x2(lna，a)，综上，当ae时，函数f(x)有两个零点；………………………………………6分（3）因为函数f(x)有两个零点x1，x2，x1x2所以ex1ax1，ex2ax2，所以要证x1x21，即证e2e1，a等价于ee即证x1x2x2x1x1x22eeee1，()，也即xx2x2x1(x2x1)2(e2e1)ex2x11（*），………………………………………………8分x2x122(x2x1)(e1)et1(t0)，(et1)2t2不妨设x1x2，令tx2x10，（*）式等价于t2et1(t0)，于是只要证te2et10，…………………………10分也即te1t令m(t)te2et1(t0)，则m(t)e21te2ete2(1te2)，22又令(t)1te2(t0)，得(t)11e20，222所以(t)在(0，)单调递减，ttttttt(t)(0)0，从而m(t)0，m(t)在(0,)单调递减，所以m(t)m(0)0，即证原不等式成立.……………………………………12分数学试题第4页（共4页）