2007年第11期中学数学研究“双句函数图象的本质探究浙江省杭州外国语学校(310023)徐国君在高中数学中函数f(二)一二+登(。，。.如果hmd=0二则称直线y>0)经常会遇到，因为利用它可以考查不等式、1+kZ最值、函数的单调性、函数的值域等问题.因此二xk+b为函数f(x)的渐近线.也就是也是高考中的热点和难点.颇受命题者的青睐.lim[f(x)一xk一占]=0.对于它的性质我想大家已经研究得很透彻了，下面谈谈由以上定义求函数yf(x)渐在此就不再赞述.对于它的图象我想大家也都近线的方法:(即确定定义中的k和b，以确定知道，由于它的图象在直角坐标系中的形状大渐近线.)致象两个关于原点对称的’双勾”，所以往往被由于lim[f(x)一xk一b]==limx(人们亲切的称为“双勾”函数.但是这个“双勾”的本质是什么呢?笔者将这个问题进行探究.k一立)=0，故必有ilm(一龙一一b少、=0，由首先我们利用函数的极限求出f(x)=ax，11111.五一一2-今.X=0可知，k二lim，将已求出的k值+登(。，。>0)图象的渐近线，代入lim【f(x)一公一b」二0，可得定义已知平面曲线y二了.(x)上的动点到直线y=kx+b的距离为d==b鳃(f(x)一xk).特别(1)当k=0时，得到水平渐近线y二口;创匕钊七喇卜创匕侧挂倒睑创扮创卜它卜州坛创卜喇匕创匕喇毖州毖侧扮喇坛训匕创盼训卜创坛创肠倒睑创扮创肠喇匕喇卜倒睑创备创扮宫胜，自任，喇睡倒睑倒扮倒匕喇任侧匕喇匕创匕创盼创卜-siZnB15，心-士~~a，十-甲，忿尸匕51公芦十-，一51t一，二~~.二二二PB.;卞二代二二二丁。尸C心y」心jj」戈二isnZ一丛a+siZnnZ召十y一一逻(11)过尸点的一个球面与尸G、尸八、尸B、sinZyl毛’(11)过尸点的一个球面与尸0、尸A、尸归、尸C分别交G‘、A’、B产、C‘点，则尸G‘.尸Gf七分别交0，、A‘、B‘、C，点，则尸0‘代)=尸A尹尸A十气丁1尸归尹尸C尹尸C.sinZajsinZa+sinZ尹+sinZy尸冷产尸A十由命题3，可以设计出许多有趣的数学问产尸B+题来，如:已知四面体夕扭C中，AS=SB二SC二a，isnZa+ssiinZnZ月y+sinZy尸C产.尸C.尸为△八刀C内的任意一点，延长5尸，交四面体推论3已知三棱锥尸一ABC，G是底面SABC的外接球面于Q点，则sPSQ为定值.△八刀C的重心，限于篇幅，不再叙述，(1)任作一平面，分别交PG、尸A、BP、尸C参考文献于。，、A，、。、’c点，则爵-尸八尸B3PA产3PB尹+〔]1李先品，叶其灵.三角形两个性质的三维推广.中学学研究(江西)，0206，7.20中学数学研究(2)当hmf(x)=co时，则x=x。为函数二~卜勺2007年第11期二4，可得一点F，2，(2招)(苦f(x)的垂直渐近线.下面我们用上述方法来求函数f(x)二xa譬一，，又得一点”)，过B点作一直线11垂直于1，则1+奎(。，。>0.)的渐近线.o解:由于鳃了(x)二c，则x=0即y轴是是该函数的另_招.、二^。，、、的方程为y“一了x宁乙“人丫厂、x”，o夕刀y该函数的渐近线.令y=kx+bf，x(一警二+，，0一督二。+了上的任意一点一条渐近线，则k二limr，0口一11。(。+乌)-b=lim(f(x)一触)二(二+五一xa卜二0，即直线y=ax为该函数的另一条渐近线.有了这两条渐近线作为参照，可以利用几何画板画出该函数的图象，不难发现“双勾”函数的图象夹在这两条渐进线x=0和y=ax之间.于是，笔者联想到圆锥曲线中的双曲线的图象也是夹在两条渐近线之间，难道“双勾”函数的图象是双曲线?我们可以从具体到一般的方法加以说明，即先设ab二2乃，此时函数为、，，、_招.2招一二“召f(x)J、~/”丫3~x+’七锣，x”下面看看该函数的图象、，“二‘洲’目一目仍~朴”叨~内-是否为双曲线.要验证这个结论.只需要按照双曲线的定义找到相应的焦点和准线即可.于是就有了下面的猜想:猜想1:“双勾”函数f(x)X十—.2行“浏图象是双曲线.一二证明:.由于函数二，，‘，(f，、招x)=丫x+.2生于肆的两条招二‘，*一“.曰，~~J、‘/3~’x”味”小，、浙卫匕。、L.双刀x=U。‘于，y=招下Jx，月叭举付，，、，二，。，1叭粉用刀，l，h、、锐角的两渐近线的角平分线r1的方程为y二|Jy-、一招招x，联立方程下厂JX十—.2招|XL二夕、_{x二招。y一-乃xLy=3._和、丁x=一招，_，.，L.‘，J气，、，x)四网父息分例足八，_一二‘，、，.，。妙=一3，州1币，)3，AZ(一招，一)3，可得距离d=}AIA:}二4招，令a=2招，ba=2，c=‘aZ+占2誓，贝。:PFI}=丫(x。一2)2+(夕。一2招)2424了x+气一sx。一-苗一一‘O.ox+加=*1/，气2-万一招VJ.2乃一2招)2一}}率Jxn+一边一xo2川，1尸点到直线2:的距离d，二，。+警X。一2。一酬，。督X。一2招譬一鱼_三月是常数，攀。满足双曲线的第二定义誓一2招1，则粤.所以了-(x)色招了x宁一.2丁刚田不刀从团双升丫两‘招“，‘、，‘止。、山，、U、竿刀*、e=三=_2一万一，阴焦瓜刀厂招二，卜、。，，。二、。，J1、乙，‘vJ)，厂2气一乙，一2招)，实轴长为Za=4招，虚轴长为Zb二4.对称轴方程为尸门“，’八冲一上‘“‘。、/。，y=7招’“‘二x与卜研一y=一瞥招3~x.’把它的图象绕着原点经过旋转就可以得到相应的双曲线标准方程扩(焦点在x轴上的)为C一丈21一4二1.所以可以发现:把C按照逆时针方向旋转60’(即对称轴直线y=招x的倾斜角度数)得到的图象对应的函数就是f(劣)=月』育‘.2招3~x+’一x.事实上，利…{1xx十百ly.212007年第11期中学数学研究也谈对一个气不等式链的证明湖南长沙市铁路一中(410000)曾庆桂文〔]1给出了几个结论和一个猜想，文【]2结论1的证明:由幂平均不等式，当n》1对其中的两个结论“给出了一种更好的证明方法，以便于说明猜想的正确性”;文[l」和文【2〕时，给我们许多启迪，但是，笔者认为文【2」的方法镇3，(兰土等星洛些夸一竺，可得二“二则3(a+b+。)妻(a+占+‘)2)3(ab+并不简单，本文给出较简单的证法.Cb+ca)，故a+b+。》ab+6。+ca.由a+b结论1:若a、b、‘为正实数，n妻2，且a”+b”+c”=3，则a+b+c)ab+bc+ca)3a阮.)3十。镇夕五石3得瓦而之丽云abc簇1，则。=3abb+bc.c+ca)3夕石离反石结论2:若a、b、‘、d为正实数，且护+护结论2的证明:+c，_2.‘+d，‘2_=4月。，，则a+b+c+d_.二。_。二多言‘\\卫/ab+bc+二.二_.简证一:由幂平均不等式可得a+b+。+d:(+da+a。+掀)》a阮十占心十“勿十dab)d簇4二‘4(a+b+:+d))(a+占+‘+d)2=aZ+占2+。2+dZ+2(ab+占。+cd+da+ca+4abcd.文〔]1最后提出了如下猜想:、)、号(a。十cb+cd+*十ac+、)(此处利若全用了③班=1a笋=n，a，为正实数，n，1任N’，m))1，则艺。‘2…。‘*妻爵则。十。+十己、号(a。+bc十dc+*+‘1，恤.恤+1a艺la￡2’“ca+掀);又abC十占心+‘d口+dab=bC(a+a爪十，己)+“(乙+。)=了庆(a+J)丫丐丢+了蔽(占为了书写简单，把一些结论写成如下引理:引理1:若a、占、。为正实数，则aZ+石2++，橱越告(。+)(a+、)瓜+告(a+产)ab+bc十ca①J，‘。+)而一合(“+)‘a+d，(瓜+引理2:若a、b、。为正实数，则(a+b+‘)2妻3(a占+占c+ca)②瓜)、告(。+)(a+己)告(。++a+d，引理3:3(aZ+62+:2+汉2))2(a6+阮+、告(。+)(a+己)告X‘一(“+，(+d，dc十ad十ca十叼)③二ab+cd十ca十似;可把方程y二下子招.2招，，七从仆堆浏月t，小*、斗‘，，。小)的图象是双曲线.JX卞—XI乃气团或刀>0程鑫二‘2一告y，，一‘.由上述特例，我们不难得猜想3:函数f(二)一十奎‘a。、0)的图象是双曲线.到一般情况下的猜想:猜想4:若曲线C的图象有且仅有两条渐猜想2:“双勾，，函f(二)一+奎(。，。近线相交于点尸，且曲线C的图象关于点尸对称，则曲线C为双曲线.22
