2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷 解析版

2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）

1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2

﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（ ）个

A．4

B．3

C．2

D．1

2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ） A．2

B．24

C．2

D．12

）在“勾股

3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：

根据该统计图，下列说法错误的是（ ）

A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多

B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量 D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量

4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ） A．m≥﹣2

B．0≤m≤

C．﹣2≤m≤﹣

D．m≤﹣

5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（ ）

A．3

B．

C．

D．

6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）

A．20

B．18

C．10

D．9

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 ．

8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则

＝ ．

9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 ．（结果用m，n表示）

10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半

轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为 ．

11．（4分）如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．

12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为 ．

三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2

﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值； （2）已知a＜b＜0，且+＝6，求（

）3的值．

14．（12分）习总强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资

源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：

类型 A B

占地面积 15 20

可供使用幢数

18 30

造价（万元）

1.5 2.1

（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？

（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝

，若每个B

型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）

15．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H． （1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长； （2）当FH∥BE时，求AE的长；

（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．

16．（14分）如图①，已知抛物线y＝ax2+

x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A

），点D

在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，

是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E． （1）求a，c的值；

（2）求线段DE的长度；

（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？

2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）

1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2

﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（ ）个

A．4

B．3

C．2

D．1

【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1， 则①a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＞0； ②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c， |a﹣c|＝﹣a+c， ∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|； ③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0， ∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0； ④∵|a|＞1，1﹣bc＜1， ∴|a|＞1﹣bc；

故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C．

2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ） A．2

B．24

C．2

D．12

）在“勾股

【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣式即可得到c的值．

c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公

【解答】解：∵点P（﹣1，∴

）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，

c，

＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣

又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4， ∴ab＝4，即ab＝8， 又∵a2+b2＝c2， ∴（a﹣b）2+2ab＝c2， 即∴（﹣解得c＝2故选：A．

3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：

c）2+2×8＝c2， ，

根据该统计图，下列说法错误的是（ ）

A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多

B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小 C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量 D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量 【分析】根据图象逐一分析即可．

【解答】解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确； 对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；

对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；

对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷（1﹣14.7%）＝3569.05，

8月出货量为：3087.5÷（1﹣5.3%）＝3260.3， 因为3260.3＜3569.05， 故12月更高，故D错误． 故选：D．

4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ） A．m≥﹣2

B．0≤m≤

C．﹣2≤m≤﹣

D．m≤﹣

【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．

【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣， ∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣， ∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣， ∴m≤﹣；

∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣， ∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣； ∴﹣2≤m≤﹣． 故选：C．

5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（ ）

A．3 B． C． D．

【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．

【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8， ∴AB＝

＝

＝4

，

∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4∵点E为BO的中点， ∴OE＝BO＝×8＝4， ∴OE＝A′O＝4，

过点O作OF⊥A′B′于F， S△A′OB′＝×4解得OF＝

，

＝

＝

，

•OF＝×4×8，

，

在Rt△EOF中，EF＝∵OE＝A′O，OF⊥A′B′， ∴A′E＝2EF＝2×

＝

， ﹣

＝

；

∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4故选：B．

6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN

＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）

A．20

B．18

C．10

D．9

【分析】由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，则tan∠MAB＝tan∠NMC，即

，即

，化简得：y＝﹣x2+

﹣9，当x＝﹣

＝

时，y＝

﹣9+＝，即可求解．

【解答】解：由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m， 如图所示，当点M在BC上时，

则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝9﹣x，NC＝y， ∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC， tan∠MAB＝tan∠NMC，即即当x＝﹣

，

x﹣9，

，化简得：y＝﹣x2+＝

时，

y＝﹣9+＝，

解得：m＝5， 则AM＝5，BC＝4， 故ABCD的面积＝20， 故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为

．

【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：根据题意画图如下：

共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为故答案为：．

8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则

＝

．

＝．

【分析】过B点作BD⊥AC于点D，设AD＝4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．

【解答】解：过B点作BD⊥AC于点D，

∵cosA＝， ∴

，

设AD＝4x，则AB＝5x， ∴

∵AB＝AC，

，

∴AC＝5x， ∴CD＝5x﹣4x＝x， ∴BC＝∴故答案为：

．

，

，

9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 m+2019n ．（结果用m，n表示）

【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．

【解答】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，

∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n， 故答案为：m+2019n．

10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为 4+4

．

【分析】取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．

【解答】解：∵∠MON＝90°，

∴Rt△MON中，OE＝MN＝4，

如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，

又∵∠MQP＝90°，MN＝8，PN＝4，NE＝4， ∴Rt△PNE中，PE＝又∵OP≤PE+OE＝4+4∴OP的最大值为4+4

， ，

， ，

即点P到原点O距离的最大值是4+4故答案为：4+4

．

11．（4分）如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是

或

．

【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB＝BC，②AC＝BC，即可解题．

【解答】解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝∴点B坐标为（

，2

），

，

），

，

同理可求出点A的坐标为（

∵BD⊥x轴， ∴点C横坐标为∴BA＝

，纵坐标为

，BC＝

，

，

，AC＝

∴BA2﹣AC2＝k＞0， ∴BA≠AC，

若△ABC是等腰三角形， ①当AB＝BC时，则解得：k＝±

＝

，

（舍去负值）；

；

②当AC＝BC时，同理可得：k＝故答案为：

或

．

12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为 5 ．

【分析】连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝4，CM＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝5，进而得出EF的长． 【解答】解：如图，连接BM．

∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称， ∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．

∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD． ∴∠FAB＝∠MAE，

∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE＝∠MAB．

∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF＝BM．

∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝4． ∵DM＝1， ∴CM＝3．

∴在Rt△BCM中，BM＝∴EF＝5， 故答案为：5．

＝5，

三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2

﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值； （2）已知a＜b＜0，且+＝6，求（

）3的值．

【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2k﹣1、x1x2＝k2，结合x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值； （2）先通分可得a2+b2＝6ab，再根据完全平方公式的变形可得

3

的值，进而可得（）

的值．

【解答】解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0， 解得k≤；

（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2， ∵k≤，

∴x1+x2＝2k﹣1≤0，

而x1x2＝k2≥0， ∴x1≤0，x2≤0， ∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2， ∴x1•x2+x1+x2＝2， 即k2+（2k﹣1）＝2， 整理得k2+2k﹣3＝0， 解得k1＝﹣3，k2＝1， 而k≤， ∴k＝﹣3； （2）∵+＝6， ∴a2+b2＝6ab， ∴（a+b）2＝8ab，

∴（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝4ab， ∴（

）2＝

＝2，

∴＝±，

∵a＜b＜0，

∴a+b＜0，b﹣a＞0， ∴∴∴（答：（

＜0， ＝﹣

．

．

）3＝﹣2

）3的值为﹣2

14．（12分）习总强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：

类型

占地面积

可供使用幢数

造价（万元）

A B

15 20

18 30

1.5 2.1

（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？

（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝

，若每个B

型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）

【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；

（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．

【解答】解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个． 依题意得：解得6≤x≤9.17， ∵x为整数，

∴x＝6，7，8，9有四种方案；

设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42， ∵﹣0.6＜0，

∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元）， ∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；

（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），

当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040， ∵

0，故有最小值，

，

当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），

当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨）， ∵240＜250，

故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，

，

∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，

∴每个A型处理点每月处理量＝

×120×≈5.4（吨），

故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低． 15．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H． （1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长； （2）当FH∥BE时，求AE的长；

（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．

【分析】（1）连接EF，FA，由CE为圆的切线且又和EB垂直，可知CE∥FA，推出∠CEF＝∠AFE，而∠AFE＝∠FEB可得∠CEF＝∠BEF，所以EF为∠BEC的平分线．又因为∠EFB为直角可知EF⊥BC，所以△BEC为等腰三角形，得到BF为BC的一半，又因为EA∥CF，可知四边形CEAF为平行四边形，即AD＝BF＝2.5；

（2）根据平行线的性质得到BE⊥CE，由余角的性质得到∠ABE＝∠DEC，证得△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）连接EF，由圆周角定理得出∠BFE＝90°，设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5﹣x，由已知条件得出点G在点F上方，连接BG、EG，设BG、EF交于点K，得出△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF＝KF＝x，BK＝

x，EK

＝2﹣KF＝2﹣x，GK＝EG＝CEF，得出

＝

（2﹣x），BG＝GK+BK＝（2+x），证明△BEG∽△

，得出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）如图1，连接EF，FA， ∵CE为圆的切线且又和EB垂直， ∴CE∥AF

∴∠CEF＝∠AFE； 又∵∠AFE＝∠FEB， ∴∠CEF＝∠BEF， ∴EF为∠BEC的平分线； ∵∠EFB＝90°， ∴EF⊥BC， ∴BE＝CE

∴△BEC为等腰三角形， ∴BF为BC的一半； ∵EA∥CF，

∴四边形CEAF为平行四边形， 即AE＝CF＝2.5；

（2）解：∵FH∥BE，FH⊥CE， ∴BE⊥CE，

∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEC， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴

＝

，

∵AB＝2，AD＝5， ∴CD＝AB＝2，

∴＝，

∴AE＝1或AE＝4．

（3）连接EF、OF、OG，如图3所示： 则∠BFE＝90°，

设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5﹣x， 若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°， 连接BG、EG，设BG、EF交于点K， ∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形， ∴BF＝KF＝x，BK＝

x，EK＝2﹣KF＝2﹣x，

（2﹣x），BG＝GK+BK＝

（2+x），

在等腰直角△EGK中，根据勾股定理得：GK＝EG＝又∵∠EBG＝∠EFG＝∠FCH， ∴△BEG∽△CEF，

∴＝，即＝，

解得：x＝∴AE的长度是

，或x＝

或

， ．

16．（14分）如图①，已知抛物线y＝ax2+

x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A

），点D

在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，

是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E． （1）求a，c的值； （2）求线段DE的长度；

（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？

【分析】（1）：（1）将A（﹣1，0），C（0，求出a、c的值；

（2）由（1）得抛物线解析式：y＝轴的对称点，C（0，是

＝即＝

），所以D（2，，解得：EH＝2

），DH＝

，点D是点C关于抛物线对称，再证明△ACO∽△EAH，于

；

），

）代入抛物线y＝ax2+

x+c（a≠0），

，则DE＝2

（3）找点C关于DE的对称点N（4， ），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣

连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝＝ 时，△MPF面积有最大值

．

）代入抛物线y＝ax2+

x+c（a≠0），

＝

，m

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，

，

∴a＝﹣，c＝

）

（2）由（1）得抛物线解析式：y＝

∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，∴D（2，∴DH＝

）， ，

x2+

x+

＝0，

令y＝0，即﹣

得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵AE⊥AC，EH⊥AH， ∴△ACO∽△EAH， ∴

＝即＝

，

，

解得：EH＝2则DE＝2

；

（3）找点C关于DE的对称点N（4， ），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣ ），

连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，

∴直线GN的解析式：y＝由（2）得E（2，﹣

x﹣

，

），A（﹣1，0），

x﹣

，

∴直线AE的解析式：y＝﹣

联立

解得

∴F （0，﹣∵DH⊥x轴，

），

∴将x＝2代入直线AE的解析式：y＝﹣∴P（2，∴F （0，﹣

）

）与P（2，

x﹣，

）的水平距离为2

过点M作y轴的平行线交FH于点Q， 设点M（m，﹣

m2+

m+

），则Q（m，

m﹣m2+

）（m+

＜m＜）﹣（

m﹣

）； ），

∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣S△MFP＝

∵对称轴为：直线m＝， ∵开口向下，

＜m

，

..

＝

∴m＝ 时，△MPF面积有最大值为