三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳

浅论关于三角函数的几种解题技巧

本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于sincos与sincos(或sin2)的关系的推广应用：

1、由于(sincos)2sin2cos22sincos12sincos(sincos)，必可推出sincos(或sin2)，例如：

故知道

例1 已知sincos3,求sin3cos3。 3分析：由于sin3cos3(sincos)(sin2sincoscos2)

(sincos)[(sincos)23sincos]

其中，sincos已知，只要求出sincos即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。

解：∵(sincos)212sincos 故：12sincos(3211)sincos 333 sin3cos3(sincos)[(sincos)23sincos] 331314[()23]3 333339

2、关于tg+ctg与sin±cos，sincos的关系应用：

1

sincossin2cos21由于tg+ctg= cossinsincossincos 故：tg+ctg，sincos，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，则m2 n的关系为（ ）。

A．m=n B．m=

2

2

2221 C．m2 D．n2 nnm分析：观察sin+cos与sincos的关系：

(sincos)21m21 sincos=

22而：tgctg1n

sincosm2112m21，选B。 故：2nn

例3 已知：tg+ctg=4，则sin2的值为（ ）。

1111 A． B． C． D．

242411分析：tg+ctg=4sincos

sincos41 故：sin22sincossin2。 答案选A。

2

例4 已知：tg+ctg=2，求sin4cos4

分析：由上面例子已知，只要sin4cos4能化出含sin±cos或sincos的式子，则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg=

sincos12

sincos1，此题只要将sin4cos4化成含sincos的式子即可： 2解：sin4cos4=sin4cos4+2 sin2cos2-2 sin2cos2

=（sin2+cos2）- 2 sin2cos2 =1-2 (sincos)2

1 =1-2()2

21 =1

21 =

2 通过以上例子，可以得出以下结论：由于sincos，sincos及tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但

2

有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含sincos的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（sincos）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出sincos

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

sin3cos例5 已知：tg=3，求的值。

2sincossin分析：由于tg，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，

cos“造出”tg，即托出底：cos；

解：由于tg=3k2cos0

sincos3costg3330 故，原式=cossincos2tg12312coscos

例6 已知：ctg= -3，求sincos-cos2=?

coscos分析：由于ctg，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，

sinsin式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：sin2cos21及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造出ctg：

sincoscos2解：sincos1sincoscos

sin2cos2222coscos2()ctgctg22sinsin 分子,分母同除以sin 2cos21ctg1()sin3(3)26  251(3)

例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设0x2,0y，且sinxsinysin(x)sin(y) 236求：(ctgx3)(ctgy3)的值 3分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于0x2为底，得：

,0y2，故sinx0,siny0，在等式两边同除以sinxsiny，托出分母sinxsiny3

解：由已知等式两边同除以sinxsiny得：

sin(x)sin(y)sincoscossinxsincosycossiny36336611

sinxsinysinxsiny13cosxsinxcosy3siny14sinxsiny1(3ctgx1)(ctgy3)1 4

33(ctgx)(ctgy3)14334(ctgx)(ctgy3)333“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。

sincos由于tg，ctg，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互

cossin化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，

达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用sin2cos21，把

sin2cos2作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又

或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：acosxbsinx的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：

可以从公式sinAcosxcosAsinxsin(Ax)中得到启示：式子acosxbsinx与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如acosxbsinx的式子都可以变成含sin(Ax)的式子，由于-1≤sin(Ax)≤1，

所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：3cosx4sinx中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：

abacosxbsinxabcosxsinx 2222abab22由于(aa2b2)2(ba2b2aab2)21。

bab22故可设：sinA2，则cosA1sinA，即：cosA

∴acosxbsinxa2b2(sinAcosxcosAsinx)a2b2sin(Ax) 无论Ax取何值，-1≤sin(A±x)≤1，

4

a2b2≤a2b2sin(Ax)≤a2b2 即：a2b2≤acosxbsinx≤a2b2 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例1（98年全国成人高考数学考试卷）

求：函数y3cos2xsinxcosx的最大值为（AAAA ） A．133 B．31 C．1 D．31 22112sinxcosxsin2x，再想办法把cos2x变成含cso2x的式子：22cos2x1 cos2x2cos2x1cos2x2cos2x11于是：y3sin2x

22分析：sinxcos 331cos2xsin2x 222313cos2xsin2x) 222 (由于这里：a3131,b,则a2b2()2()21 2222∴y1(313cos2xsin2x) 222设：sinA3a312,则cosA 122a2b23 2∴ysinAcos2xcosAsin2x3 2 sin(A2x)无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故13，即答案选A。 233≤y≤1 22∴y的最大值为1

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例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）

在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。

分析：首先，由于BC2CA212(3)24AB2，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜

BC1,故A30，则∠B= AB290°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为l，且要列出有关l为未知数的方程，对l进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE=l，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l的方程。在图中，由于EC=l·cosα，则BE=BC-EC=1-l·cosα。

而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α ∠B=60°，∠DEF=60° ∴在△BDE中，根据正弦定理：

BFDE1lcosl sinBDEsinBsinsin60边，所对角∠C为直角，又由于sinA333(1lcos)lsinlcoslsin 222l323cossin2

在这里，要使l有最小值，必须分母：

3cossin有最大值，观察：23337 cossin,a,b1a2b2()2122222∴

372127cossin(cossin) 22772127，则cosA 77设：sinA故：

37cossin(sinAcoscosAsin) 227sin(A) 2 6

∴

37cossin的最大值为。 22321即：l的最小值为：2

772而sin(A)取最大值为1时，A2k∴sinsin(2k22k2A

2A)cosA27 7即：sin2721时，△DEF的边长最短，最短边长为。 77从以上例子可知，形如acosxbsinx适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与a2b2的最值有关；其中最大值为a2b2，最小值为a2b2。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如acosxbsinx的关系式，即能根据题意，求

出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)； 3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z). 二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）; 2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）; 3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内; 4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

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五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β. 七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则： (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α; 2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α. 八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ= 九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称； 3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。 十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式： 1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2); 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2. 十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化. 1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

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角函数公式 两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

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sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α

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