高中数学集合运算与关系专项讲解包含练习

专题 集合运算与关系

考点精要

1．集合的含义． 2．集合的表示．

3．集合间的基本关系． 4．集合的基本运算．

热点分析

热点是集合的基本概念、运算和工具作用，考查重点是集合与集合之间的关系．

知识梳理

1．集合：某些确定的对象集在一起成为集合．

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA．

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性． （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内； 图示法：集合的表示除了列举法和描述法外，还有文恩图

A 表示任意一个集（文氏图）

画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，如图： （4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R．

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB（或BA）．

集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若AB且BA，则称A等于B，记作A=B．若AB且

AB，则称A是B的真子集，记作AB． （2）简单性质：

①AA； ②A； ③若AB，BC，则AC；

④若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）．

3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作S （或U）；

（2）若S是一个集合，AS，则ðSA={x|xS且xA}称S中子集A的补集；

1

（3）简单性质：

①ðS（ðSA）=A； ②ðSS=，ðS=S．

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集AB{x|xA且xB}．

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B 的并集．并集AB{x|xA或xB}．

5．集合的简单性质：

（1）AAA,A,ABBA； （2）AA,ABBA； （3）(AB)(AB)；

（4）ABABA;ABABB； （5）ðS（A∩B）=（ðSA）∪（ðSB），ðS（A∪B）=（ðSA）∩（ðSB）．

例题精讲:

例1: 设集合U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，B={3,4,5}，C={3,4}，则(AB)(ðUC)=_______．

例2: 定义集合A、B的一种运算：A＊B＝{x｜x＝x1+x2, x1A, x2B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A＊B中的所有元素之和为________

xa0的解集为P，不等式|x1|1的解集为Q． x1 （1）若a3，求P； （2）若QP，求正数a的取值范围．

例3: 记关于x的不等式

变式：设集合A{x|x22x2m40},B{x|x0},，若AB,求实数m的取值范围.

例4（2009北京）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且

k1A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S{1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S的

3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.

2

针对训练

11．设集合A{x|x2},B{xx21}，则AB

2 A．{x1x2} B．{x|x1} C．{x|x2}

12D．{x|1x2}

2．全集S={x|x4,xN*}，A={1,2,3}，A∩ðSB={2,3}，那么B= A．{2,3} B．{2,3}或{2,3,4} C．{1,4} D．{1,4}或{1} 3．集合A={3－2x,1,3}，B={1,x２}，并且A∪B=A，那么满足条件的实数x的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4 4．设M={x| xZ}，N={x| x=,nZ }，P={x| x=n＋}，则下列关系正确的是 A． NM． B． NP D．N=M∩ P

5．集合A={y| y=x2+1}，B={y| y=x+1}，则 A∩ B= A．{（1,2）,（0,1）} B．{0,1} D．[1,)

13n212C．N=M∪P

C．{1,2}

6．设全集I是实数集R，M{x|y1x1x}与N(,]都是

，则阴影部分所表示的集合为 I的子集（如图所示）

A．{x|x1} C．{x|1≤x≤}

13B．{x|x≤ 5} D．{x|x1}

7．定义集合运算：A⊙B={z| z= xy（x+y）, zA, yB}，设集合A={0,1}，B={2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为 A．0 B．6 C．12 D．18 8．已知全集UR，集合Ax|2x3，Bx|x1或x4，那么集合A(ðUB)等于 A．x|2x4 B．x|x3或x4 C．x|2x1

D．x|1x3

A．AB2,1 B．(ðRA)B(,0) C．AB(0,)

(ðRA)B2,1

9．集合AyR|ylgx,x1，B2,1,1,2，则下列结论正确的是

D

A

．

10．已知U=R，A=x|x0，B=x|x1，则A痧UBA． D．x|x0或x1 11．已知集合Mx|BUB．x|x0 C．x|x1

x30，Nx|x≤3，则集合x|x≥1＝ x1 A．M

N B．MN C．ðU(MN)

D．ðU(MN)

3

12．设集合Ax|x3,Bx|x10，则Ax4B=

A．

B．3,4 C．2,1 D．4,

13．设不等式x2x0的解集为M，函数f(x)ln(1|x|)的定义域为N，则MN为

A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（1，0] 14．已知集合A={x| |x|2, xR}，B={x| xa}，且AB，则实数a的取值范围是___________．

答案 ；例1: {2,5} 例2: 14 例3; （1）{x/ 12

针对训练

1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．D 9．D 10．D 11．D 12．B 13．A 14．a3

高考链接 模拟实战

11（09北京文）设集合A{x|x2},B{xx21}，则AB——

21 A．{x1x2} B．{x|x1}

2C．{x|x2} D．{x|1x2}

2（10北京理） 集合P{xZ0x3},M{xZx29}，则PIM=—— (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3} 3（05北京理）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是

（A）M＝P （B）PÜM （C）MÜP （ D）ðUMP

4（08北京文）已知全集∪＝R，集合A=|x|-2≤x≤3|，B=|x|x〈-1或x〉4|，那么集合A∩（εvB）等于 (A)|x|-2≤x〈4| （B）|x|x≤3或≥4| (C)|x|-2≤x<-1 (D)|x| -1≤x≤3| 5（11北京文）已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么

A．(-∞, -1] C．[-1，1]

B．[1, +∞）

D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）

6（2011年西城一模1）已知集合A{xZx5}，B{xx20}，则AB=

4

（ ）

（A）(2,5) （B）[2,5) （C）{2,3,4} （D）{3,4,5} 7（2011年朝阳一模1）若集合M{y|yx2, xR}，N{y|yx2, xR }， 则MN等于（ ） （A）0, （B）(,) （C） （D）{(2, 4)，(1, 1)}

答案1 B

2 B 3 C 4 D 5 D 6C 7 A 5