2019年广西省北部湾经济区中考数学试卷(含答案)

数 学

（考试时间120分钟，满分120分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作 （ ）

A．+2℃

B．﹣2℃

C．+3℃

D．﹣3℃

2．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是 （ ）

3．下列事件为必然事件的是 （ ）

A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是1800 C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

4．2019年6月6日，南宁市地铁3号线举行通车仪式，预计地铁3号线开通后日均客流量为700000人次，其中数据700000用科学记数法表示为 （ ）

A．70×104 B．7×105

C．7×106 D．0.7×106

5．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 （ ）

A． 600

6. 下列运算正确的是 （ ）

A． (ab3) 2 = a2b6 B． 2a +3b=5ab C．5a2﹣3a2=2 D．(a+1)2= a2+1

7. 如图, 在△ABC中，AC=BC, ∠A=400 ，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）

A． 400

1

B．

650 C．750 D．850

B．

450 C．500 D．600

8．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两个恰好选择同一场馆的概率是 （ ） A．

1212 B． C． D． 3399k（k＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小x9.若点（﹣1，y1）、（2, y2）、（3, y3）在反比例函数y=

关系是 （ ） A． y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1

10.扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，则可列方程为 （ ）

31×20× 30 B． (30﹣2x) (20﹣x) =×20× 30 4413C． 30 x+2×20x) =×20× 30 D． (30﹣2x) (20﹣x) =×20× 30

44A．(30﹣x) (20﹣x) =

11． 小菁同学在数学实践活动中测量路灯的高度，如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路

00

灯顶端O的仰角为35 ，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65 ，则路灯顶端O到地面000000

的距离约为（已知sin35≈0.6,cos35≈0.8,tan35≈0.7, sin65≈0.9, cos65≈0.4, tan65≈2.1）（ ）

A． 3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米

12. 如图,AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB=25，BC=2，当CE+DE的值最小时，则

A．

CE的值为 （ ） DE92525 B． C． D． 10335

2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．若二次根式x4有意义，则x 的取值范围是 ． 14．因式分解：3ax2﹣3ay2= ．

15．甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6. 甲、乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是 .（填“甲”或“乙”）. 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4， S菱形ABCD=24，则AH= ．

17.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.

18. 如图，AB与CD相交于点O，AB=CD，∠AOC=600，∠ACD+∠ABD=2100，则线段AB、AC、BD之间的数量关系式为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分6分）计算： (－1)2+(6)2－(－9)+(－6) ÷2.

3x5x120. （本题满分6分）解不等式组：3x42x1 并利用数轴确定不等式组的解集.

36

3

21. （本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1）、 B（1，－2）、C（3，－3）.

（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1; （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2; （3）请写出A1、A2的坐标.

22．（本题满分8分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目菜10题同，每题10分.现分别从三个班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）收集数据如下： 1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100. 整理数据：

分数 人数 班级 1班 2班 3班

根据以上信息回答下列问题：

（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；

（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数、众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由； （3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？

4

分析数据：

60 70 80 90 100

0 1 1 1 1 1 6 3 4 2 a 2 1 1 2

1班 2班 3班 平均数 83 中位数 80 众数 80 83 b c 80 d 80 23. （本题满分8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD. （1）求证：∠BAD=∠CBD；

0⌒ 的长.（结果保留π）. （2）若∠AEB=125，求BD

24．（本题满分10分）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具.已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同.

（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？

（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面.设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示.

（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠.学校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式，现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？

5

25．（本题满分10分）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F. （1）求证：△ABF≌△BCE;

（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC=DG；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD、BF于点M、N，求

26. （本题满分10分）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2 “互为关联”的抛物线. 如图1，已知抛物线C1：y1=

MN的值. NH12

x+x与C2：y2=ax2+x+c4是“互为关联”的抛物线，点A、B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，－1）. （1）直接写出A、B的坐标和抛物线C2的解析式；

（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点F（－6， 3）在抛物线C1上，点M、N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M、N横坐标相同，记△AFM的面积为S1 (当点M与点A，F重合时，S1=0)，△ABN的面积为S2(当点N与点A，B重合时，S2=0),令S= S1+ S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值.

6

参

一、选择题

1．D． 2． D． 3. B． 4. B． 5． C. 6．A. 7．C. 8．A. 9．C . 10．D. 11．C. 12. A. 二、填空题

13．x≥﹣4. 14．3a(x+y)(x﹣y) 15．甲. 6．三、解答题

19．解：原式=1+6+9﹣3 ……………………………………………………………………4分

=13. ……………………………………………………………………6分

20. 解：原不等式组化简为：24. 17. 26. 18. AB2=AC2+BD2. 52x6 ∴

3x44x2x3 ………………………2分 x2 … ……………………………………4分

∴不等式组的解集为：2≤x＜3. ………………………………………………………6分 21．（1）如图（如第一象限蓝色实线所示） …………………………………………………3分 （2）如图（如第三象限蓝色实线所示） …………………………………………………6分

（3）点A1（2，3）；A2（﹣2，﹣1） …………………………………………………8分

7

22．（1）a= 4 , b=83, c=85, d=90 ………………………………………………………2分 （2）答：从平均数上看三个班都一样；从中位数上看，1班和3班一样是80，2班最高是85；从众数上看，1班和3班都是80，2班是90. ………………………………………………………4分 综上所述，2班成绩比较好. ………………………………………………………5分 （3）570×

4=76（张） ………………………………………………………8分 30答：学校预计需要准备76张奖状. .

23．(1)证明：∵AD平分∠BAC

∴∠CBD=∠CAD ………………………………………………………1分 ∴∠BAD=∠CBD ………………………………………………………3分

(2) ∵∠AEB=1250

0

∴∠AEC=55

∵AB为⊙O的直径，

0

∴∠ACE=90………………………………………………………4分

∴∠CAE=350

0 ∴∠DAB=35………………………………………………………5分

则BD所对圆心角∠DOB=700 ………………………………………………………6分

⌒ 707×2π×3=π. ………………………………………………………8分 ∴BD的长为

360624．（1） 设每袋国旗图案贴纸为x元，则有

150200= ………………………………………………………1分 xx5解得x=15 ………………………………………………………2分 经检验当x=15时，分母不为0，所以x=15是原方程的解…………………3分 则每袋小红旗为：15+5=20元

答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元. ……………………4分

（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有

50a∶20b=2∶1 ………………………………………………………5分 解得b =答：购买小红旗

8

5a 45a袋恰好配套. ………………………………………………………6分 4（3）如果没有折扣，则w=15a+20×a =40a，

依题意，40a≤800， 解得a≤20.

当a＞20时，则w=800+0.8（40a﹣800）=32 a + 160 即w=5440a(a20) ………………………………………………………8分

32a160(a20)2=2400（张） 国旗图案贴纸需：1200×1=1200（面） 小红旗需：1200×

则a =

24005=48（袋） b =a =60（袋） 50448+ 160=1696（元） 总费用w=32 ×

答：所需购买国旗图案贴纸48袋，小红旗60袋，所需总费用1696元. …………………10分

25.（1）证明 ：∵BF⊥CE,

0

∴∠CGB=90, 0

∴∠GCB+∠CBG =90,

∵四边形ABCD是正方形

0

∴∠CBE=90=∠A, BC=AB 0

∴∠FBA+∠CBG =90,

∴∠GCB=∠FBA

∴△ABF≌△BCE(ASA) …………………………………………………2分

(2) 证明 ：过点D作DH⊥CE于点H，设CD=BC=2a， E为AB中点，EA=EB= a, CE=CB2BE25a Rt△CEB中，根据面积相等，得：BG•CE=CB•EB.

∴BG=

245a， CG=CB2BG25a ………………………………3分 55∵∠DCE+∠BCE=900, ∠CBF+∠BCE=900, ∴∠DCE=∠CBF,

∵CD=BC, ∠CQD=∠CGB =900,

∴△CQD≌△BGC(AAS) …………………………………………………4分 ∴CQ=BG=

225a, GQ=CG﹣CH=5a= CQ, 559

∵DQ= DQ, ∠CQD=∠GQD=900,

∴△DGQ≌△CDQ(SAS) …………………………………………………5分 ∴CD=GD …………………………………………………6分

11•CG•DQ=•CH•DG 2244CGDQCG25a5a8 CH===5=a …………………………………………7分 5DG5CD2a622在Rt△CHD中，CD=2a,DH=CDCHa

5(3)解：S△CDQ=

∵∠MDH+∠HDC=900, ∠HCD+∠HDC=900, ∴∠MDH=∠HCD

∴△GHD∽△DHM ∴DH∶CH=DH∶HM =6∶8=3∶4 ∴HM =

9a. 104845a，CH=a, GH=CG2CH2=a. 555在Rt△CHG中，CG=

∵∠NGH+∠CGH=900, ∠HCG+∠CGH=900, ∴∠QGH=∠HCG

∴△QGH∽△GCH ∴HN∶HG=HG∶CH

44aaHG55=2a …………………………………………9分 ∴HN=

8CH5a5921a﹣a=a ∴MN=HM﹣HN=10522

1aMN25=. …………………………………………10分 ∴

NH2a45

26.解：（1）∵C1的顶点C2上，C2的顶点C1上，

可求得C1的顶点为A（－2，－1）， 又∵C2过点A、D两点，则

14a2c1a 解得：4 36a6c1c210

∴ y2=－

12

x+x+2 …………………………………………………1分 4∴点B的坐标为（2，3）. …………………………………………………2分

（2）直线AB的解析式为：y=x+1.

① 若B为直角的顶点，BE⊥AB，kBEkAB=－1,得 ：kBE=－1, 则BE的解析式为：y=－x+5.

yx5x6x2 解得： 或 此时， E（6，－1）……3分 联立12y1y3yxx24② 若A为直角的顶点，AE⊥AB，kAEkAB=－1,得 ：kAE=－1, 则AE的解析式为：y=－x－3.

yx3x2x10 解得： 或 此时， E（10，－13）……4分 联立12y1y13yxx24 ③若E为直角的顶点，设E（m, －

由BE⊥AE，kBEkAE=－1,

12

m+m+2 ） 411m2m1m2m3=－1， 即：4•4m2m2解得：m=2或m=－2 （均排除） …………………………………………………5分

所以存在，E1（6，－1）或E2（10，－13）. …………………………………………………6分 （3）∵y1≤y2，观察图形可得：x的取值范围为：－2≤x≤2 ……………………………………7分 设M（t,

121t+t）, N（t, －t2+t+2）,且－2≤t≤2. 44易求得直线AF为：y=－x－3

过点M作x轴的平行线MQ交AF于Q, 由y Q=yM， 得，Q（S1 =

121t－t－3，t2+t） 441 |QM|•| y1－y2| 212

=t+4t+6 ……………………………………8分 2设AB交MN于点P，易知：点P坐标为（t, t+1） S2=

1 |PN|•| xA－xB| 21= 2－t2 ……………………………………9分

2∴S= S1+ S2=4t+8

11

当t =2时，有S的最大值为16. ……………………………………10分

12