高中数学必修四第1章《三角函数》单元测试题(精品整理含答案)

高中数学必修四第1章《三角函数》单元测试题

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 600°＋tan 240°的值是( )

A．－3 B.31 D.1

2 2 C．－2＋3 2＋3

2．已知点Psin3

34π，cos4π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( A.π B.3π C.5π7π

44 4 D.4

3．已知tan α＝3

34，α∈π，2π，则cos α的值是( )

A．±45 B.443

5 C．－5 D.

5

4．已知sin(2π－α)＝43π

sin α＋cos α5，α∈(2，2π)，则sin α－cos α等于( )

A.11

7 B．－7

C．－7 D．7 5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π

8对称，则φ可能取值是( A.πππ3π2 B．－4 C.4 D.4 6．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( A.π3π5π5π2，4∪π，4 B.π4，π2

∪π，4 C.π3π5π3ππ3π3π2，4∪4，2 D.2，4∪4，π

7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是( )

)) ) 1

π2x－8．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( ) 6ππ

A．向右平移6个单位长度 B．向右平移3个单位长度 ππ

C．向左平移6个单位长度 D．向左平移3个单位长度

π

9．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<2)的图1

象如右图所示，则当t＝100秒时，电流强度是( )

A．－5 A B．5A C．53 A D．10 A

10．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则( ) π1π

A．ω＝2，θ＝2 B．ω＝2，θ＝2 1ππ

C．ω＝2，θ＝4 D．ω＝2，θ＝4

π4π

11．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋3)＋2的图象向右平移3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )

243

A.3 B.3 C.2 D．3

4π

12．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )

ππππA.6 B.4 C.3 D.2

2

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．

1

14．方程sin πx＝4x的解的个数是________．

7π

15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(12)＝________.

πx

16．已知函数y＝sin3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．

ππ

18．(12分)已知函数y＝acos2x＋3＋3，x∈0，2的最大值为4，求实数a的

值．

3

π

19. (12分)如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ≤2)的图象与y轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；

π

(2)已知点A(2，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y03π

＝2，x0∈[2，π]时，求x0的值．

20．(12分)已知α是第三象限角，f(α)＝(1)化简f(α)；

31α－(2)若cos＝，求f(α)的值； 2π5(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．

sinπ－α·cos2π－α·tan－α－π

.

tan－α·sin－π－α

4

π

21．(12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A>0，ω>0，0<φ<2的图象

π

与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为2πM3，－2. (1)求f(x)的解析式；

ππ(2)当x∈12，2时，求f(x)的值域．



π

22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0且ω>0,0<φ<2)的部分图象，如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

5π

(2)若方程f(x)＝a在0，3上有两个不同的实根，试求a的取值范围．



5

高中数学必修四第1章《三角函数》单元测试题

答案

1．B 2.D 3.C

4．A [sin(2π－α)＝－sin α＝443π3

5，∴sin α＝－5.又α∈(2，2π)，∴cos α＝5. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝17

，故选A.] 5．C [检验fππ

8＝sin4＋φ是否取到最值即可．]

6．B [sin α－cos α>0且tan α>0， ∴α∈ππ

54，2或α∈π，4π

.]

7．D [当a＝0时f(x)＝1，C符合，

当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合， 当|a|>1时T<2π，B符合． 排除A、B、C，故选D.]

8．B [y＝sinπ2x－π6π＝cos2－2x－6＝cos2π3－2x＝cos

2x－23π＝cos2πx－3

.]

9．A [由图象知A＝10，T4－112＝300300＝100， ∴T＝1，∴ω＝2π

50T＝100π. ∴I＝10sin(100πt＋φ)．

(1

300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1＋φ＝π

3002.

∴φ＝π∴I＝10sin(100πt＋π6.6)， 当t＝1

100秒时，I＝－5 A，故选A.]

10．A [∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝π

2.

6

∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2， |x2－x1|min＝π，即Tmin＝π， 2π

∴ω＝π，ω＝2，故选A.]

44

11．C [由函数向右平移3π个单位后与原图象重合，得3π是此函数周期的整数倍．又ω>0，

2π433∴ω·k＝3π，∴ω＝2k(k∈Z)，∴ωmin＝2.]

4π4π12．A [∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(3，0)中心对称，即3cos(2×3＋φ)＝0， 8ππ

∴3＋φ＝2＋kπ，k∈Z.

13ππ

∴φ＝－6＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值6.] 13．(6π＋40) cm

3π

解析 ∵圆心角α＝54°＝10，∴l＝|α|·r＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm. 14．7

1

解析 在同一坐标系中作出y＝sin πx与y＝4x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解． 15．0

35ππ2π

解析 方法一 由图可知，2T＝4－4＝π，即T＝3， 2π

∴ω＝T＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)， π3π

将(4，0)代入上式sin(4＋φ)＝0. 3π3π∴4＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－4. 7π7π3π

∴f(12)＝2sin(4＋kπ－4)＝0.

35ππ2π

方法二 由图可知，2T＝4－4＝π，即T＝3.

7

又由正弦图象性质可知，若f(x)＝f(xTf(7ππππ

00＋2)＝0，∴12)＝f(4＋3)＝f(4)＝0. 16．8 解析

T＝6，则5T

4≤t， ∴t≥15

2，∴tmin＝8.

17．解 y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1 ＝4

1sin x－22－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1， ∴y＝4t－122

－2 (－1≤t≤1)．

∴当t＝1π＝5π

2，即x＝6＋2kπ或x6＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－2；

当t＝－1，即x＝3π

2＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7. 18．解 ∵x∈

0，π2，∴2x＋ππ4π3∈3，3，

∴－1≤cos

2x＋π3

≤12. 当a>0，cos2x＋π311＝2时，y取得最大值2a＋3， ∴1

2a＋3＝4，∴a＝2.

当a<0，cos

π2x＋3＝－1时，y取得最大值－a＋3，

∴－a＋3＝4，∴a＝－1， 综上可知，实数a的值为2或－1.

19．解 (1)将x＝0，y＝3代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝3

2，

8

ππ

因为0≤θ≤2，所以θ＝6. 2π2π

由已知T＝π，且ω>0，得ω＝T＝π＝2. π

(2)因为点A(2，0)，Q(x0，y0)是PA的中点， 3π

y0＝2，所以点P的坐标为(2x0－2，3)．

ππ

又因为点P在y＝2cos(2x＋6)的图象上，且2≤x0≤π， 5π37π5π19π

所以cos(4x0－6)＝2，且6≤4x0－6≤6，

5π11π5π13π2π3π

从而得4x0－6＝6，或4x0－6＝6，即x0＝3，或x0＝4. sin α·cos－α·[－tanπ＋α]－sin α·cos α·tan α

20．解 (1)f(α)＝＝＝cos α.

－tan α[－sinπ＋α]－tan α·sin α33

(2)∵cosα－2π＝cos2π－α＝－sin α，

311α－π又cos2＝5，∴sin α＝－5. 又α是第三象限角，

26∴cos α＝－1－sin2α＝－5， 26

∴f(α)＝－5.

(3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12.

2π

21．解 (1)由最低点为M3，－2得A＝2.

π

由x轴上相邻两个交点之间的距离为2， Tπ2π2π得2＝2，即T＝π，∴ω＝T＝π＝2.

2π2π

由点M3，－2在图象上得2sin2×3＋φ＝－2，



9

4π

即sin3＋φ＝－1，

4ππ

故3＋φ＝2kπ－2(k∈Z)， 11π

∴φ＝2kπ－6(k∈Z)． ππ0，又φ∈2，∴φ＝6， π

2x＋故f(x)＝2sin. 6

ππ7πππ(2)∵x∈12，2，∴2x＋6∈3，6，

πππ

当2x＋6＝2，即x＝6时，f(x)取得最大值2； π7ππ

当2x＋6＝6，即x＝2时，f(x)取得最小值－1， 故f(x)的值域为[－1,2]．

22．解 (1)由图象易知函数f(x)的周期为 7π2π

T＝4×6－3＝2π，A＝1，所以ω＝1.



π

方法一 由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象向左平移3个单位得到的，π故φ＝3，

π所以函数解析式为f(x)＝sinx＋3.



πππ

方法二 由图象知f(x)过点－3，0，则sin－3＋φ＝0，∴－3＋φ＝kπ，k∈Z.

π

∴φ＝kπ＋3，k∈Z， ππ

又∵φ∈0，2，∴φ＝3，

π

∴f(x)＝sinx＋3.



5π

(2)方程f(x)＝a在0，3上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在

5ππ0，3上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sinx＋3在

10

5π35π

0，3上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出

23有两个交点时，a∈32，1



∪(－1,0)．

11