数学模型与数学建模简介

数学模型与数学建模简介

1. 数学模型与数学建模的概念

1.数学建模竞赛的由来

(1)美国大学生数学建模竞赛的由来：

1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。 在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南)数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。
    （2）我国大学生数学建模竞赛

我国自19年首次参加美国大学生数学建模竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

数模竞赛题的类型及出题的指导思想。
    大部分的数模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中，例如，95年的一道题是空中飞行管理的问题，98年A题“投资的收益与风险”，B题是“实情的巡视路线”，去年C题“资金的使用计划”，D题“公交车的调度”。关于“公交车的高度”这道题目正是我院所选定的题目，在这儿稍作详细一点的介绍，题目给出我国某路大城市的一条交通线路。它光有上，下行驶方向各14个站，从早上6时开始至晚上12时，每站，每小时上的人数的统计资料已绘出；每站之间的距离，公交车行驶速度也绘出。汽车偏差可载客100人，最大载承量为120人，要求在人流高峰期乘客候车时间不超过5分钟，客流低峰期候车时间不超过15分钟，客车空载率不低于50%。问1)此线路应当配备多少辆车：2)如何设计发车时间表？这样的问题与传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题“，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的(数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的)呈报的成果是一编“论文”。
   由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。
全国大学生数模竞赛是如何进行的呢？
   我国著名的大学每年通常参加二次数模竞赛，春节后有一次“全美数模竞赛”，其发起的单位是美国工业与应用数学学会，现在已经发展成一项国际性的竞赛活动，竞赛题在网上获得，论文的书写是全英文的比赛评奖直接在美国本土进行，第二项比赛就是“全国大学生数模竞赛”了，“全美数模竞赛”我院目前还不具备参赛条件，因此，下面仅介绍“全国数模比赛”的进行情况。竞赛的时间通常安排在9月份的下旬，例如上届就在9月21号(星期五)早上八时正开始，试题由指导教师在二十号下午去省高教厅取得，试题原则上由学生自己完成，在每间高等学院的通常做法是：指导教师针对学生的疑难作适当的解释，而比赛可供选择的题目有有二题，    凡是参加过数模竞赛的学生在完成答卷的时候都会油然产生一种莫名的成就感。为什么呢？同学们可以设身处地地想一想，在接受考题的那一刻到交付答卷时，其间每一分钟都那么新鲜,每一分钟都承受着一份责任!你要去探索一个你从未接触过的问题，你要通过思考、讨论去寻找解题的方法。你要分析、要计算、要努力得出更精确的答案。与此同时，你还要构思、要精炼文章的语句与文字，要让自己的文章令人赏心悦目，令人佼服。这72小时的经历，你克服了多少困难，做了多少工作，收获又是何其大呢？

参加数模竞赛通常需要哪些方面的知识呢？

     “数模”全国赛是一种综合能力的比试。这里详细一些地进行介绍。
    第一方面：数学知识的应用能力。按历年比赛的试题来看，又涉及的数学知识面十分地宽广，但归结起来大体上有以下几类：1)概率与数理统计2)统筹与线轴规划。3)、微分方程还有与计算机知识相交叉的知识：计算机模拟，上述的内容有些同学完全没有学过，也有些同学只学过一点概率与数理统计，微分方程的知识怎么办呢？两个字“自学”。
     第二方面：计算机的运用能力，一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练地应用字处理软件“Word”(97或2000)，掌握电子表格“Excel”的使用；“Mathematical”、“Matlab”等软件的使用，最好还具备语言能力。这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习的。
  第三方面：论文的写作能力，前面已经说过考卷的全文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。

   第四方面：查阅文献的能力，数学建模竞赛要查阅大量的文献资料。

数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。

“全国大学生数学建模竞赛” 是目前全国高校影响最大的课外科技活动。竞赛参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算机方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实现问题，有较大的灵活性供参赛者发挥其创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。这项活动由于其特有的挑战性和开放性，特别符合当代大学生的行为特征，从而引起了当代大学生们的广泛兴趣。在数学建模培训和竞赛中，参赛学生在理论联系实际和实事求是的科学态度、获取新知识的能力、综合使用数学和计算机分析问题解决问题的能力、团队精神和挑战自我的精神等方面都有较大提高，受益匪浅。同时，这些竞赛代表了一种全新的教学理念, 它培养学生通过研究的方式进行学习，有力地促进了高等院校的教学改革，尤其是相关课程的开设，将这些创新的教学理论渗透到整个教学体系之中，使更多的同学受益匪浅。

2.数学建模教学有利于培养学生综合能力、培养学生的综合素质。

知识和能力是构成一个人的素质的主要成份 ，知识是能力的基础 ，能力是对知识的运用和发展 。由于数学建模是以解决实际问题和培养学生应用数学的能力为目的的，它的教学内容和方式是多种多样的。从教材来看，有的强调数学方法，有的强调实际问题，有的强调分析解决问题的过程；从教学方式来看，有的以讲为主，有的以练为主，有的在数学实验室中让学生探索，有的带领学生到企事业中去合作解决真正的实际问题。学生参加数学建模教学活动 ，不仅可以增长知识 ，培养各种能力，还可以促进学生综合素质的提高。 

  （1）. 数学建模有利于培养学生洞察能力。许多提出的问题往往不是数学化的，这就是需要建模工作者善于从实际工作提供的原形中抓住其数学本质；
   （2）. 数学建模可培养数学语言翻译能力，即把经过一定抽象和简化的实际用数学的语言表达出来，形成数学模型，并对数学的方法和理论推导或计算得到的结果，能用大众化的语言表达出来，在此基础上提出解决某一问题的方案或建议；
   （3）. 数学建模有利于培养综合应用分析能力和联想能力。用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析，并能学习一些新的知识；对于不少的实际问题，看起来完全不同，但在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的。这正是数学应用广泛性的体现，这就是培养学生有广泛的兴趣，多思考，勤奋踏实地工作，通过熟能生巧达到触类旁通的境界。

4. 数学建模有利于培养学生的创新能力。创新能力是指利用自己已有

的知识和经验 ，在个性品质支持下 ，新颖而独特地提出问题 、解决问题 ， 并由此产生有价值的新思想 、新方法 、新成果 。改变以教师为中心 、以课堂为中心 、以教材为中心的教学方式 ，逐渐向以学生为中心 、以实践为中心 、以培养学生分析和解决问题的能力为中心的学习方式过渡 。数学建模竞赛的题目通常是由工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成的，没有事先设定的标准答案，留有充分的余地供参赛者发挥聪明才智和创造精神。一个实际问题往往很复杂，影响它的因素很多，因此 ,建立一个数学模型需要有较强的创造力和想象力 。因此,开展数学建模教学活动是培养学生的创新能力的重要途径 。

5. 数学建模有利于培养学生的自学能力。在大学，自学是学生学习的一种

重要方式。教师先将事先设计好的问题提供给学生，启发、引导学生主动查阅文献资料和学习新的知识；让他们自己分析，对原问题提出必要的假设，并进行简化，寻求解决问题的线索，建立适当的数学模型，利用数学软件或编程解决问题 ，给出初步结论。学生完成后进行讨论，教师主要起引导、启发和辅导的作用。教学过程的重点是创造一个环境去诱发学生的学习欲望 、培养他们的自学能力。

  3．数学模型

简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。
    具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。
    更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。（数学模型就是利用函数、方程等数学概念创立的能反映实际问题特征和数量关系的符号系统）

建模案例1：生产计划的安排

    某工厂制造A、B两种产品，制造产品A每吨需用煤9t ，电力4kW，3个工作日；制造产品B每吨需用煤5t ，电力5kW，10个工作日。已知制造产品A和产品B每吨分别获利7万元和12万元，由于该厂条件，只有煤360t ，电力200kW，300个工作日可以利用，问A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？

分析：设、分别表示A、B产品的计划生产数（单位为吨），表示利润（单位为万元）。则本问题可表示为：

  （LP） ：  

这种生产任务的安排实际上就是一项决策，、称为决策变量，若把视为向量，就称为决策向量，满足约束条件的称为可行决策。为了判别决策的优劣，决策者必须选定一个指标，一般该指标为决策变量的函数，称为目标函数。

它为一个线性规划模型，所谓线性规划问题就是指目标函数是诸决策变量的线性函数，给定的条件可用诸决策变量的线性等式或不等式表示的决策问题。

2. 数学建模

   数学建模是通过对实际问题进行抽象、简化，反复探索，构件一个能够刻划客观原形的本质特征的数学模型，并用来分析、研究和解决实际问题的一种创新活动过程。

数学建模的几个过程:

模型准备 ：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。

模型假设 ：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

模型建立 ：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）

模型求解 ：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。  

模型分析 ：对所得的结果进行数学上的分析。

模型检验 ：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。

模型应用 ：应用方式因问题的性质和建模的目的而异

            建模准备             建模假设        构造模型

                                否           否

              模型检验        是   模型分析       模型求解

                  是

              模型应用

数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程， 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

4．数学模型的分类

（1）按模型的应用领域分类：

生物数学模型，医学数学模型，地质数学模型，数量经济学模型，数学社会学模型等。

（2）按是否考虑随机因素分类：

　 确定性模型与随机性模型

（3）按是否考虑模型的变化分类：

　 静态模型与动态模型

（4）按应用离散方法或连续方法分类：

　 离散模型与连续模型

（5）按建立模型的数学方法分类：

　 几何模型，微分方程模型，图论模型，规划论模型，马氏链模型等。

（6）按人们对是物发展过程的了解程度分类：

白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。
灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。
黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。

二．数学建模方法

（一）、机理分析法 从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。
5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
（二）、数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的数据，故称为数理统计方法。
2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的数据，故称为数理统计方法。
4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
（三）、仿真和其他方法
1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。① 离散系统仿真--有一组状态变量。 ② 连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2. 因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。
3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。

    建模案例2：   人口模型

人口问题是当今世界上最关注的问题之一。一些发展中国家的人口出生率过高，越来越严重地威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋近于零，甚至变为负数，造成劳动力短缺，也是